Πολλαπλάσιο του 81

 Αν $\displaystyle{A=2^{4\lambda+1}-2^{2\lambda}-1}$ και $\displaystyle{B=2^{ 2\rho}+15\rho-1}$ με  $\displaystyle{ \lambda, \rho \in \mathbb{N}^*}$,

να δείξετε οτι ο $\displaystyle{ A\cdot B}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{81}$.

Τουλάχστον ένας είναι ίσος με k

 Αν $\displaystyle{\alpha+\beta+\gamma=\kappa}$ και $\displaystyle{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\frac{1}{\kappa}}$, τότε να δειχτεί ότι ένας απ' τους $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ είναι ίσος με $\displaystyle{\kappa}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,\kappa \in \mathbb R^*}.$

Γεωμετρική ανισότητα σε τρίγωνο

 Αν $\displaystyle{M,N,P}$ είναι σημεία επί των πλευρών $\displaystyle{B\Gamma, \Gamma A, AB,}$ αντίστοιχα ενός τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$,

 να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{(B\Gamma)+( \Gamma A)+( AB)<2\left[(AM)+( BN)+(\Gamma P)\right]<3\left[(B\Gamma)+( \Gamma A)+( AB)\right]}$ .

Γεωμετρική ανισότητα για την περίμετρο εξαγώνου

  Έστω $\displaystyle{AB\Gamma \Delta EZ}$ ένα κυρτό εξάγωνο με περίμετρο $\displaystyle{ \Pi}$. 

Να δείξετε ότι $\displaystyle{\Pi> \frac{2}{3}(A\Delta +BE +\Gamma Z)}$.

Είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου

 Αν $\displaystyle{a,b,c}$ ακέραιοι αριθμοί με $\displaystyle{a+b+c=0}$ να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{2a^{4}+2b^{4}+2c^{4}}$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου αριθμού.

Ανισότητα (6)

 Αν $\displaystyle{x>0}$, τότε να δείξετε ότι $\displaystyle{\frac{x^2+3x+3}{x+1}+\frac{1}{x}>4}$ .

Μία τουλάχιστον εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες

 Έστω $p, q, r$ θετικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι τουλάχιστον μία από τις παρακάτω εξισώσεις έχει πραγματικές ρίζες:

$px^2+2qx+r=0$

$rx^2+2px+q=0$

$qx^2+2rx+p=0$

Να βρεθούν οι τιμές ώστε το κλάσμα να είναι ακέραιος

Να προσδιορίσετε όλες τις τιμές του ακέραιου αριθμού $\alpha$ για τις οποίες ο ρητός αριθμός $A =\dfrac{(a^2-1)^3}{(a-1)^4}$ είναι ακέραιος.

Βρείτε τους πέντε αριθμούς

 Οι πραγματικοί αριθμοί $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon$ είναι τέτοιοι ώστε  $\alpha< \beta< \gamma< \delta< \epsilon$. Βρίσκουμε όλα τα αθροίσματα που δημιουργούνται με δύο όρους από τους $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon$ και παρατηρούμε ότι τα τρία μικρότερα από αυτά είναι 128, 144 και 148, ενώ τα δύο μεγαλύτερα είναι 204 και 192. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon.$

Ισοσκελές τρίγωνο με ίσες πλευρές διπλάσιες της βάσης του

 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{B\Gamma =\alpha}$ και $\displaystyle{AB = A\Gamma=2\alpha}$ . Η παράλληλη ευθεία από την κορυφή $\displaystyle{\Gamma}$ προς την πλευρά $\displaystyle{AB}$ τέμνει την ευθεία της διχοτόμου $\displaystyle{B\Delta}$ στο σημείο $\displaystyle{E}$. Η ευθεία $\displaystyle{AE}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{B\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{Z}$. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{ABZ}$ είναι ισοσκελές.

                                                                                                            (Θαλής, 2012)

Να απλοποιηθεί η παράσταση (2)

 Να απλοποιηθεί η παράσταση : $\displaystyle{K=\frac{\alpha^3 +{\beta}^3 -\alpha^2 +\beta^2 +(\alpha\beta+\beta^2 )(\alpha-2\beta)}{(\alpha+\beta)^2 -\alpha-\beta}}$ αν $\displaystyle{\alpha +\beta \ne 0}$ και $\displaystyle{\alpha +\beta \ne 1}$.

Παραμετρική εξίσωση (1)

(α) Αν $\displaystyle{\kappa}$ ακέραιος, να λύσετε την εξίσωση : $\displaystyle{\frac{\kappa x}{2}+\frac{x}{4}= \kappa(x + 2) -\frac{3(\kappa x-1)}{4}}$. 

(β) Για ποιες τιμές του ακέραιου $\displaystyle{\kappa}$ η παραπάνω εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις;

 

Να απλοποιηθεί η παράσταση (1)

 Να απλοποιηθεί η παράσταση:

$\displaystyle{A (x) = \frac{1+{{x}^{4}}+{{(1+x)}^{3}}+x{{(1+x)}^{3}}}{1+{{x}^{2}}+{{(1+x)}^{2}}}-\frac{2(1+{{x}^{3}})+{{(1+x)}^{3}}}{3(1+{{x}^{2}})}}$.

Παραγοντοποίηση (2)

 Αν $\displaystyle{\alpha, \beta , \gamma}$ είναι πραγματικοί αριθμοί, με κατάλληλο χωρισμό των όρων της σε ομάδες, να  παραγοντοποιήσετε την παράσταση: 

$\displaystyle{A= \alpha ^4 + 2\alpha^3 \beta + \alpha^2 \beta^2 − \alpha^2 \beta^2\gamma^2 − 2\alpha \beta^3\gamma^2 − \beta^4\gamma^2 − \alpha^2\gamma^2 + \beta^2\gamma^4}$. 

Πολλαπλάσιο του 34

  Αν οι αριθμοί $\displaystyle{\mu, \nu }$ είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύει ότι  $\displaystyle{4^{\mu -2} + 4^{\nu +2 } \le  2^{\mu+ \nu +1}}$ , να αποδείξετε ότι ο ακέραιος $\displaystyle{A = 2^\mu +2^\nu}$  είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{34}$.

Να δείξετε ότι το άθροισμα των κύβων τους ισούται με το τριπλάσιο του γινομένου τους

 Αν οι πραγματικοί αριθμοί ικανοποιούν τις ισότητες $\displaystyle{x^2- y  = z^2 , y^2-z = x^2 , z^2-x = y^2}$ , να αποδείξετε ότι:

(α) $\displaystyle{x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz}$ .

(β) Ένας τουλάχιστον από τους $\displaystyle{x, y, z}$ ισούται με $\displaystyle{0}$.

Να βρεθούν οι ακέραιοι (3)

 Να προσδιορίσετε τους ακέραιους $\displaystyle{x, y}$ και $\displaystyle{z}$ που είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{0\le x\le y\le z}$ και  $\displaystyle{xyz + xy + yz + zx + x + y + z = 44}$ .

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{x,y}$ που ικανοποιούν τη σχέση: $\displaystyle{x^6+ 2 x^3 y^2 + 3x^3 + y^4 + 3y^2 -40 = 0}$

Υπολογισμός παράστασης

 Αν  $\displaystyle{a, b, c \in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{(a-b)(b-c)(c- a)\ne 0}$ τότε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:  

$A=\dfrac{a^2-1}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^2-1}{(b-a)(b-c)}+\dfrac{c^2-1}{(c-a)(c-b)}$

Ισότητα τμημάτων

Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\widehat{A}>\widehat{B}}$ οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{A}}$ και $\displaystyle{\widehat{B}}$ τέμνονται στο $\displaystyle{I}$. Στην πλευρά $\displaystyle{AB}$ παίρνουμε τμήμα $\displaystyle{B\Delta = B\Gamma−A\Gamma}$. 

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{ I\Delta =IA}$.

Ανισότητα (5)

 Αν $\displaystyle{\alpha ,\beta,\gamma }$ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός να αποδείξετε ότι:     $\displaystyle{{{\left( \frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\gamma }+\frac{\gamma }{\alpha } \right)}^{2}}\ge 3\left( \frac{\alpha }{\gamma }+\frac{\gamma }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha } \right)}$

Παραγοντοποίηση (1)

Να αναλυθεί το πολυώνυμο $\displaystyle{x^6 − 2x^5 + x^2 − x − 2}$ σε γινόμενο τριών πολυωνύμων θετικού βαθμού.