Εννιαψήφιος αριθμός

Βρείτε κάθε εννιαψήφιο αριθμό $Α$ με τις παρακάτω ιδιότητες:

• Περιέχει και τα εννέα ψηφία από το 1 έως το 9 ακριβώς μία φορά.

• Κάθε διψήφιος αριθμός ο οποίος σχηματίζεται από δύο γειτονικά ψηφία του $Α$ (χωρίς να αλλάζουμε τη σειρά τους) είναι πολλαπλάσιο του 7 ή του 13.

Σύγκριση τμημάτων

            Στο παραπάνω σχήμα ποιο από τα παρακάτω τμήματα είναι το μεγαλύτερο;

             (Α)  ΑΒ           (Β)  CD           (C)  AE           (D)  CE           (E)  BC

            Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
 

Μία εξίσωση με τρεις αγνώστους (2)

 Να βρείτε τους αριθμούς $α,β,γ$ που ικανοποιούν την εξίσωση $$3α^2+2β^2+γ^2-2αγ-2βγ-2α+1=0.$$

Μία εξίσωση με τρεις αγνώστους (1)

 Αν $(α^2-4α+7)(β^2+10β+35)(4γ^2-12γ+11)=60$, τότε βρείτε τους αριθμούς $α,β,γ$.

Τρεις θετικοί αριθμοί που ικανοποιούν τρεις ανισοτικές σχέσεις

 Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς $α,β,γ$ για τους οποίους ισχύουν συγχρόνως οι σχέσεις:

$α^3β+3\leq 4γ$,   $β^3γ+3\leq 4α$  και   $γ^3α+3\leq 4β.$

Εξίσωση με απόλυτες τιμές δύο αγνώστων στους φυσικούς αριθμούς

 Να βρείτε όλα τα ζευγάρια φυσικών αριθμών $\displaystyle{(x,y)}$ που ικανοποιούν την εξίσωση $\displaystyle{|x-2|+|y-3|=3-y}.$

Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός, Α' Λυκείου, 1984

Τρίγωνο με μήκη πλευρών διαδοχικούς ακέραιους

 Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ τα μήκη των πλευρών του είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ισχύει πως $\displaystyle{AB<B\Gamma  <\Gamma A}$.

Αν η διχοτόμος $\displaystyle{A\Delta}$ είναι κάθετη στη διάμεσο $\displaystyle{BE}$, να βρεθούν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου.

Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός, Α' Λυκείου, 1984

Να προσδιοριστεί το είδος του τριγώνου

 Να προσδιορισθεί το είδος του τριγώνου $ABC$ αν για τις πλευρές του $a, b, c \in \mathbb N$ ισχύουν οι σχέσεις:

$a^2<2a+b-c$, $b^2<2b+c-a$ και $c^2<2c+a-b.$

Θαλής, Α' Λυκείου, 1994

Είναι ισοσκελές!

 Δίνεται τρίγωνο  $\displaystyle{AB\Gamma}$ και έστω $\displaystyle{A\Delta}$ ύψος του.

(α) Αν υπάρχουν σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ πάνω στις πλευρές $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{A\Gamma}$, αντίστοιχα, τέτοια ώστε να ισχύουν $\displaystyle{\Delta E = \Delta Z}$ και   $\displaystyle{\widehat{A\Delta E}  =\widehat{A\Delta Z} }$     , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ισοσκελές.

(β) Αν υπάρχουν σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ στις προεκτάσεις των πλευρών $\displaystyle{BA}$ και $\displaystyle{\Gamma A}$ ( προς το μέρος του $\displaystyle{A}$), αντίστοιχα, τέτοια ώστε να ισχύουν $\displaystyle{\Delta E = \Delta Z}$ και $\displaystyle{\widehat{A\Delta E}  =\widehat{A\Delta Z} }$   , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ισοσκελές.

Θαλής, Α' Λυκείου, 2009

Τέμνονται πάνω στο ύψος!

 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB =A\Gamma}$ και το ύψος του $\displaystyle{A\Delta}$. 

Από τυχόν σημείο $\displaystyle{E}$ του ύψους $\displaystyle{A\Delta}$ θεωρούμε ευθεία $\displaystyle{(\epsilon)}$ παράλληλη στη $\displaystyle{B\Gamma}$. 

Πάνω στην ευθεία $\displaystyle{(\epsilon)}$ θεωρούμε δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία $\displaystyle{M,N}$ έτσι ώστε $\displaystyle{EM = EN}$ και $\displaystyle{MB < M\Gamma}$. 

Να αποδείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα $\displaystyle{M\Gamma}$ και $\displaystyle{NB}$  τέμνονται πάνω στο ύψος $\displaystyle{A\Delta}$.

Θαλής, Α' Λυκείου, 2010

Να αποδείξετε ότι τρία σημεία είναι συνευθειακά

 Δίνεται οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ($\displaystyle{AB = A\Gamma}$). 

Κύκλος με κέντρο την κορυφή $\displaystyle{A}$ και ακτίνα $\displaystyle{\rho < AB}$ τέμνει τις πλευρές $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{A\Gamma}$ στα σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{\Delta}$ ,αντίστοιχα. 

Οι ευθείες $\displaystyle{B\Delta , \Gamma E}$ τέμνουν για δεύτερη φορά το κύκλο στα σημεία $\displaystyle{K , N}$ αντίστοιχα. 

Αν $\displaystyle{T}$ είναι το σημείο τομής των $\displaystyle{B\Delta , \Gamma E}$ και $\displaystyle{S}$ το σημείο τομής των $\displaystyle{\Delta N , EK}$ , 

να αποδείξετε ότι τα σημεία $\displaystyle{A, S}$ και $\displaystyle{T}$ βρίσκονται επάνω στην ίδια ευθεία.

Θαλής, Α' Λυκείου, 2011

Δύο ισόπλευρα τρίγωνα

 Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ και σημείο Β στο εσωτερικό του. Κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΕ προς το ίδιο μέρος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ. Αν τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΕ και ΓΔ τέμνονται στο σημείο Ζ, να υπολογίσετε τη γωνία ΑΖΔ.

Θαλής, Α' Λυκείου, 2001

Εξίσωση α΄ βαθμού

 Να λύσετε την εξίσωση:

$\displaystyle{\frac{x-25}{1975}+ \frac{x-23}{1977}+ \frac{x-21}{1979}+ \frac{x-19}{1981}+ \frac{x-17}{1983}+ \frac{x-15}{1985} =}$

$\dfrac{x-1975}{25}+ \dfrac{x-1977}{23}+ \dfrac{x-1979}{21}+ \dfrac{x-1981}{19}+ \dfrac{x-1983}{17}+ \dfrac{x-1985}{15}$.

Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός, Α' Λυκείου, 1985

Ανισότητα (7)

 Αν $\displaystyle{\alpha>0}$ και $\displaystyle{\alpha^5-\alpha^3+\alpha=3}$, να αποδειχθεί οτι $\displaystyle{\alpha^6\ge  5.}$

Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός, Α' Λυκείου, 1988

Σύστημα με τέσσερις αγνώστους

Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x_1,x_2,x_3,x_4}$ για τους οποίους ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις: 

$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1$ 

$x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=1$

Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός, Α' Λυκείου, 1984

Υπολογισμός γωνίας

 Στην πλευρά $BC$ ισοσκελούς τριγώνου $ABC$ ($AB=BC$), θεωρούμε σημεία $M , N$ τέτοια ώστε $NM=AM$, και $\widehat {MAC}=\widehat {BAN}$. Να υπολογίσετε την γωνία $\widehat {CAN}.$

Θαλής Α' Λυκείου, 1997

Διχοτόμηση γωνίας

 Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB<A\Gamma}$. Πάνω στην ημιευθεία $\displaystyle{AB}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{B'}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{(AB')=(A\Gamma )}$ 

και πάνω στην πλευρά $\displaystyle{A\Gamma}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{\Gamma '}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{(A\Gamma ')=(AB)}$. Έστω $\displaystyle{I}$ το σημείο τομής των ευθειών $\displaystyle{B\Gamma}$ και $\displaystyle{B'\Gamma '}$. 

Να αποδειχτεί ότι η $\displaystyle{AI}$ είναι η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A}}$.

Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός, Α' Λυκείου, 1988  

(Τότε ο 1ος γύρος δεν λεγόταν Θαλής.)

Ανισότητα (16)

 Να αποδείξετε ότι $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\geq-1$ για κάθε $x\in\mathbb R.$

Βρείτε την άγνωστη γωνία!

 

Σκακιέρα 6x6

 Μπορούμε να τοποθετήσουμε στα τετράγωνα μιας $6\times6$ σκακιέρας αριθμούς από το σύνολο $\{-1,0,1\}$ έτσι ώστε σε κάθε γραμμή, κάθε στήλη και κάθε μία από τις διαγώνιες της σκακιέρας το άθροισμα των αριθμών να είναι διαφορετικό;

Τα θέματα του Θαλή των τελευταίων 15 ετών με τις λύσεις τους

Αρχείο θεμάτων διαγωνισμών Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

Στον παραπάνω σύνδεσμο  θα βρείτε τα θέματα του Θαλή των τελευταίων 15 ετών με τις λύσεις τους.

Ποτέ δεν κάνει 33

 Αν $x,y$ είναι ακέραιοι τότε να αποδειχθεί ότι $$x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5\neq 33.$$

Είναι παραλληλόγραμμο!

 Δίνεται τρίγωνο $ΑΒΓ$ και έστω τα σημεία $Μ,Ρ$ ώστε $\overrightarrow{ΜΑ}-\overrightarrow{ΜΒ}-3\overrightarrow{ΜΓ}=\overrightarrow{0}$ και $2\overrightarrow{ΡΑ}-2\overrightarrow{ΡΒ}+3\overrightarrow{ΡΓ}=\overrightarrow{0}$. Να αποδείξετε ότι:

1) τα σημεία $Ρ,Γ,Μ$ είναι συνευθειακά

2) το τετράπλευρο $ΑΒΜΡ$ είναι παραλληλόγραμμο.

Γεωμετρικός τόπος σημείων ώστε δύο διανύσματα να είναι παράλληλα

 Δίνεται τρίγωνο $ΑΒΓ$. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων $Μ$ του επιπέδου για τα οποία το διάνυσμα $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{ΜΑ}+\overrightarrow{ΜΒ}+2\overrightarrow{ΜΓ}$ να είναι παράλληλο προς το διάνυσμα $\overrightarrow{ΑΒ}.$

Γεωμετρικός τόπος σημείων ώστε τα μέτρα δύο διανυσμάτων να είναι ίσα

 Δίνεται τρίγωνο $ΑΒΓ$. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων $Μ$ του επιπέδου για τα οποία 

$|\overrightarrow{ΜΑ}+\overrightarrow{ΜΒ}+2\overrightarrow{ΜΓ}|=|\overrightarrow{ΜΑ}+\overrightarrow{ΜΒ}-2\overrightarrow{ΜΓ}|$.