Συνεπαγωγή

Οι πραγματικοί αριθμοί $p,q,r,x,y,z$ ικανοποιούν τις εξισώσεις

$$\dfrac{x}{p}+\dfrac{q}{y}=1,$$

$$\dfrac{y}{q}+\dfrac{r}{z}=1.$$

Αποδείξτε ότι $pqr+xyz=0.$

Υπόλοιπο διαίρεσης από τον διαγωνισμό των πανεπιστημίων MIT και Harvard για μαθητές

 Τα πανεπιστήμια MIT και Harvard οργανώνουν μαθήματα και διαγωνισμούς για μαθητές. Για περισσότερες πληροφορίες, αρχείο με προβλήματα εδώ.

Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης:

$10002000400080016003200640128025605121024204840968192: 100020004000800160032.$

Θέματα της Ιρλανδικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας 1988-2021

 Θέματα της Ιρλανδικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας 1988-2021

Άθροισμα 6 γωνιών

 Μια ωραία άσκηση που αλίευσα από το εξαιρετικό blog του Σωκράτη Ρωμανίδη eisatopon.

Ο δεκαπλάσιός του είναι τέλειο τετράγωνο και ο εξαπλάσιός του είναι τέλειος κύβος

 Βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο $n$ ώστε ο $10n$ να είναι τέλειο τετράγωνο και ο $6n$ να είναι τέλειος κύβος.

Ο μεγαλύτερος γνήσιος διαιρέτης είναι 11πλάσιος του μικρότερου γνήσιου διαιρέτη

Για έναν θετικό ακέραιο $n>1$ γράφουμε όλους τους διαιρέτες του σε αύξουσα σειρά: $1<d_1<...<d_k<n.$ Για πόσους $n$ ισχύει $d_k=11d_1;$

Μέγιστο άθροισμα δύο όρων ακολουθίας

 Για μια ακολουθία $(a_n)$ πραγματικών αριθμών ισχύει ότι $a_{n+1}^2+a_n^2=a_{n+1}+a_n+24$ για κάθε θετικό ακέραιο $n.$ Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του αθροίσματος $a_{2022}+a_1.$ 

Γκρι και μαύρες περιοχές

 Στο παρακάτω σχήμα κάθε γκρι περιοχή έχει εμβαδόν 72. Βρείτε το συνολικό εμβαδόν των μαύρων περιοχών.

Πράσινο εμβαδόν από την Ελβετία

 Χρησιμοποιώντας έναν διαβήτη φτιάξαμε το παρακάτω σχήμα. Κάθε μικρό τετράγωνο έχει πλευρά 2. Βρείτε το πράσινο εμβαδόν.

Πόσα τετράγωνα μοιράζονται 2 κορυφές με κάποιο τετράγωνο;

 Δίνεται ένα τετράγωνο $ABCD$ σε ένα επίπεδο. Πόσα τετράγωνα του επιπέδου αυτού μοιράζονται με το $ABCD$ ακριβώς δύο κορυφές;

Υπόλοιπο διαίρεσης με το 8

 Τι υπόλοιπο αφήνει η διαίρεση του αριθμού $2^23^35^57^7$ με το $8;$

Περίμετρος πολυγωνικού χωρίου

 Να βρείτε την περίμετρο του παρακάτω σχήματος:

Σύνολο 100 ακεραίων

 Αποδείξτε ότι από ένα σύνολο 100 διαφορετικών ακέραιων αριθμών μπορούμε  πάντα είτε να βρούμε έναν αριθμό που διαιρείται με το 100 είτε μερικούς αριθμούς με άθροισμα που διαιρείται με το 100.

Σύστημα εξισώσεων

 Βρείτε όλες τις τριάδες $(a,b,c)$ πραγματικών αριθμών τέτοιες ώστε $ab+bc+ca=1$ και $a^2b+c=b^2c+a=c^2a+b.$

Πρόβλημα διαιρετότητας από την Ελβετία

Έστω $m,n$ φυσικοί αριθμοί ώστε ο $m+n+1$ να είναι πρώτος και διαιρέτης του αριθμού $2(m^2+n^2)-1.$  Να αποδείξετε ότι $m=n.$

Σύστημα 2 εξισώσεων με 3 αγνώστους

Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα

$$(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-1$$

$$(x-2)(y-2)(z-2)=xyz-2$$

Πρόβλημα θεωρίας αριθμών από την Ιαπωνία

Βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους αριθμούς $m,n$ για τους οποίους ο $\dfrac{n^2+1}{2m}$ είναι ακέραιος και ο $2^{n-1}+m+4$ είναι τέλειο τετράγωνο. 

Ιαπωνία, 2020

Μέγιστη τιμή παράστασης με δύο μεταβλητές υπό συνθήκη

 Έστω $x,y\in (-2,2)$ με $xy=-1.$ Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $$u=\dfrac{4}{4-x^2}+\dfrac{9}{9-y^2}.$$

Εξίσωση με τέσσερις αγνώστους από τη Μολδαβία

 Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση

$$x^2+y^2+z^2+t^2=xy+yz+zt+tx-\dfrac{2}{5}.$$

                                        Μαθηματική Ολυμπιάδα Μολδαβίας, 2001

Ανισότητα από τη Μολδαβία

 Αν $x,y\in [1,\dfrac{3}{2}]$ να αποδείξετε ότι 

$$y\sqrt{3-2x}+x\sqrt{3-2y}\leq x^2+y^2.$$ 

Πότε ισχύει η ισότητα;

Σύστημα με κομψή λύση

 Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα 

$$x^3+9x^2y=10$$

$$y^3+xy^2=2$$

Δύο εξισώσεις με τρεις αγνώστους από την Τουρκία

 Να βρείτε όλες τις τριάδες ακεραίων $x,y,z$ που ικανοποιούν τις εξισώσεις

$$x-yz=11$$

$$xz+y=13$$