Αναλογία και μετά υπολογισμός κλάσματος

Αν $\dfrac{A}{3}=\dfrac{B}{4}=\dfrac{C}{5}$ τότε $\dfrac{-3A+2B+5C}{A+B+C}=$?

Υπολογισμός τριγωνομετρικής παράστασης

$\sqrt{ημ^2x+\dfrac{1}{ημ^2x}+συν^2x+\dfrac{1}{συν^2x}-(εφ^2x+σφ^2x)}=?$

(Α) $\dfrac{1}{2}$    (Β) $\dfrac{\sqrt3}{2}$  (Γ) $1$  (Δ) $\dfrac{2\sqrt3}{3}$    (Ε) $\sqrt 3$

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Άθροισμα λύσεων τριγωνομετρικής εξίσωσης

Βρείτε το άθροισμα όλων των λύσεων $x\in [-90^o,90^o]$ της εξίσωσης $\rm{2εφxημx+2ημx=εφx+1}.$

Προπόνηση στις ανισότητες

Ανισότητα (2)

Ανισότητα (6)

Ανισότητα στο [0,1]

Ανισότητα (11)

Ανισότητα (12)

Ανισότητα (13)

Ανισότητα με ριζικά

Σύγκριση αριθμών (ΙΙ)

Ανισότητα (14)

 Ανισότητα (15)

Ανισότητα (16)

Τριπλή ισότητα

Ελάχιστο παράστασης

Μετασχηματισμοί της βασικής ανισότητας $α^2+β^2\geq2αβ$

 Aν $α,β$ είναι δύο τυχαίοι θετικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι:

① $2(α^2+β^2)\geq(α+β)^2$

② $(a+\beta)^2\geq 4a\beta$

③ $\dfrac{a}{\beta}+\dfrac{\beta}{a}\geq 2$

④ $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\beta}\geq \dfrac{4}{a+\beta}$

⑤ $α+β \geq 2 \sqrt {αβ}$

⑥ $\dfrac{a^2+\beta^2}{a+\beta}\geq \dfrac{a+\beta}{2}$

Απόδειξη ανισοτήτων με την αναλυτική μέθοδο

 

Υπάρχουν τέτοιοι θετικοί αριθμοί;

 Υπάρχουν θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a, b, c, x$ τέτοιοι ώστε $a^2+ b^2 = c^2$  και $(a + x)^2+ (b +x)^2 = (c + x)^2$ ;

Πολλαπλάσιο του $48$

 Οι πρώτοι αριθμοί $a,b,c$  είναι μεγαλύτεροι του $3$. Να αποδείξετε ότι o αριθμός $(a-b)(b-c)(c-a)$ είναι πολλαπλάσιο του 48.

Συνεπαγωγή (2)

 Οι αριθμοί $a, b, c$ είναι τέτοιοι ώστε $3a + 4b = 3c$ και $4a - 3b = 4c$. Αποδείξτε ότι $a^2 + b^2 = c^2.$

Επανάληψη στο κεφάλαιο των συναρτήσεων για τα παιδιά του Β4

Η τράπεζα θεμάτων περιέχει κάποιες ασκήσεις στις παραγράφους: 

➽Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης 

➽Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης

Μπορείτε να δείτε τις ασκήσεις

15116, 15112, 14983, 15017, 15018, 15114, 15115, 14971, 14973, 15811, 16129, 14972, 14976

Προπόνηση στις ιδιότητες της διάταξης (για το Α1)

Καλημέρα σας! Για τη Δευτέρα, ετοιμάστε τις παρακάτω ασκήσεις:

 

Δύο ασκήσεις με διανύσματα

 

Διάταξη πραγματικών αριθμών για το Α1

 

Το θεώρημα Θαλή στην τράπεζα θεμάτων

 

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Α1

Υπολογισμός αθροίσματος κλασμάτων 

Ένας τουλάχιστον είναι ίσος με 1

Είναι όλοι τους ρητοί

Δεν υπάρχουν τέτοιοι ακέραιοι

Αναλογίες

Αριθμητική τιμή παράστασης με συνθήκη

Να βρεθούν οι ακέραιοι (1)

Να βρεθούν οι ακέραιοι (2)

Υπολογισμός παράστασης

Να βρεθούν οι ακέραιοι (3)

Να δείξετε ότι το άθροισμα των κύβων τους ισούται με το τριπλάσιο του γινομένου τους

Πολλαπλάσιο του 34

Παραγοντοποίηση (2)

Η έννοια του διανύσματος - Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων

Σημειώσεις για τις δύο πρώτες παραγράφους θα βρείτε εδώ.

Επανάληψη στις ταυτότητες

 

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Α1

 Υπολογισμός αριθμητικής τιμής αλγεβρικής παράστασης (1)

Υπολογισμός αριθμητικής τιμής αλγεβρικής παράστασης (2)

Υπολογισμός αριθμητικής τιμής αλγεβρικής παράστασης (3)

Να γίνουν οι διαιρέσεις

Να απλοποιηθούν τα κλάσματα

Να αποδειχθούν οι ταυτότητες (1)

Ιδιότητες δυνάμεων

Να εκτελέσετε τις πράξεις (8)

Να εκτελέσετε τις πράξεις (7)

Nα εκτελέσετε τις πράξεις (6)

Να εκτελέσετε τις πράξεις (5)

Να εκτελέσετε τις πράξεις (4)

Να εκτελέσετε τις πράξεις (2)

Είναι κύβος ακεραίου

 Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{2003 \cdot 2005^3 – 2004 \cdot  2002^3}$ είναι κύβος ακεραίου αριθμού.

Προπόνηση στις ταυτότητες $α^3+β^3$ και $α^3-β^3$

 

Συνεπαγωγή

Οι πραγματικοί αριθμοί $p,q,r,x,y,z$ ικανοποιούν τις εξισώσεις

$$\dfrac{x}{p}+\dfrac{q}{y}=1,$$

$$\dfrac{y}{q}+\dfrac{r}{z}=1.$$

Αποδείξτε ότι $pqr+xyz=0.$

Υπόλοιπο διαίρεσης από τον διαγωνισμό των πανεπιστημίων MIT και Harvard για μαθητές

 Τα πανεπιστήμια MIT και Harvard οργανώνουν μαθήματα και διαγωνισμούς για μαθητές. Για περισσότερες πληροφορίες, αρχείο με προβλήματα εδώ.

Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης:

$10002000400080016003200640128025605121024204840968192: 100020004000800160032.$