Ορθόκεντρο τριγώνου

 Έστω τρίγωνο $ΑΒΓ$ και $Ο$ το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου. Αν $Η$ είναι σημείο τέτοιο ώστε $$\overrightarrow {ΟΗ}=\overrightarrow {ΟΑ}+\overrightarrow {ΟΒ}+\overrightarrow {ΟΓ},$$

να αποδείξετε ότι το $Η$ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου $ΑΒΓ.$

Σχέσεις σε κύκλο με δύο κάθετες χορδές

 Δίνεται κύκλος με κέντρο $Ο$ και έστω δύο κάθετες μεταξύ τους χορδές $ΑΒ,ΓΔ$ οι οποίες τέμνονται στο σημείο $Ρ$. Να αποδείξετε ότι:

(1) $\overrightarrow {ΟΑ}+\overrightarrow {ΟΒ}+\overrightarrow {OΓ}+\overrightarrow {ΟΔ}=2\overrightarrow {ΟΡ}$

(2) $\overrightarrow {ΡΑ}+\overrightarrow {ΡΒ}+\overrightarrow {ΡΓ}+\overrightarrow {ΡΔ}=2\overrightarrow {ΡΟ}$

(3) Αν $Ε$ και $Ζ$ είναι τα μέσα των χορδών $ΒΓ$ και $ΑΔ$ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το $ΟΕΜΖ$ είναι παραλληλόγραμμο.

Τα διανύσματα είναι τελικά αντίθετα!

 Για τα διανύσματα $\overrightarrow α$ και $\overrightarrow β$ ισχύει ότι $|x\overrightarrow α+(x+1)\overrightarrow β|\geq \dfrac{|\overrightarrow α|+|\overrightarrow β|}{2}$ για κάθε $x\in \mathbb R.$ Να αποδείξετε ότι $\overrightarrow α+\overrightarrowβ=\overrightarrow 0.$

Αν διακρίνεις περιπτώσεις, έχεις το συμπέρασμα!

 Αποδείξτε ότι $x^{12}-x^9+x^4-x+1>0$ για κάθε $x\in \mathbb R.$

Ανισότητα από τον Καναδά

 Έστω $x,y$ δύο θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $x+y=1$. Αποδείξτε ότι 

$$(1+\dfrac{1}{x})(1+\dfrac{1}{y})\geq 9.$$

Ανισότητα με μία θετική μεταβλητή

 Έστω $x$ ένας θετικός αριθμός. Αποδείξτε ότι $x^5+x+1\geq 3x^2.$

Ποιος από τους τρεις αριθμούς είναι ο μεγαλύτερος;

Οι αριθμοί $α,β,γ$ ικανοποιούν τις σχέσεις $α+β-1=β+γ=γ+α+3$. Ποιος από τους $α,β,γ$ είναι ο μεγαλύτερος;

Σχήμα φτιαγμένο από ημικύκλια

Το σχήμα αποτελείται από ημικύκλια ακτίνας $5$. Ποιο είναι το εμβαδόν του;

 

Αριθμητική τιμή παράστασης (2)

Πόσο κάνει $20192014\cdot 20192015-20192012\cdot 20192017$;

Ποιος από τους τέσσερις είναι ο μεγαλύτερος;

 Οι αριθμοί $a,b,c,d$ είναι μεγαλύτεροι του $2$. Σχηματίζουμε τους αριθμούς $A=\dfrac{a+b}{c+d}$,  $B=\dfrac{a\cdot b}{c+d}$,  $C=\dfrac{a+b}{c\cdot d}$ και $D=\dfrac{a\cdot b}{c\cdot d}$.

Ποιος από τους $A,B,C,D$ είναι ο μεγαλύτερος;

Βρείτε το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου

 Στο παραπάνω σχήμα φαίνονται τρία τετράγωνα. Τα δύο μικρότερα έχουν εμβαδόν 1 και 16. Βρείτε το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου.

Τιμή αριθμητικής παράστασης

 Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης

$(1^2+2^2+3^2+...+2021^2)-(0\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot 4+...+2020\cdot 2022)$.

Ποιος από τους πέντε είναι ο μεγαλύτερος;

 Ο Μάνθος διάλεξε δύο θετικούς αριθμούς α και β. Ο αριθμός α είναι μικρότερος από το 1 ενώ ο αριθμός β είναι μεγαλύτερος από το 1. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι ο μεγαλύτερος; 

1) $α+β$   

2) $α\cdot β$  

3) $\dfrac{α}{β}$   

4) $α^{2022}$  

5) $β$

Ο αριθμός $\sqrt2+\sqrt[3]3$ είναι άρρητος.

 Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\sqrt 2+\sqrt[3] 3$ είναι άρρητος.

Μήκος τμήματος

 Το ABC είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο με AB=AC=10 και BC = 12. Τα σημεία S και Q είναι πάνω στην BC τέτοια ώστε BS=RC=3. Τα μέσα των AB και AC είναι τα P και Q αντίστοιχα. Οι κάθετες από τα P και R στην SQ  τη συναντούν στα M και N αντίστοιχα. Βρείτε το μήκος MN.

 

Απόσταση κορυφών ισόπλευρων τριγώνων

 Το $CYQZ$ είναι ορθογώνιο. Τα τρίγωνα $ABC$ και $PQR$ είναι ισόπλευρα πλευράς $9$. Υπολογίστε το μήκος του $AP$.

Μήκος χορδής κύκλου εντός ορθογωνίου

 Να υπολογιστεί το μήκος της χορδής $ΑΒ$.

Μήκος μέσα σε κύβο

Ο παρακάτω κύβος έχει ακμή 2. Υπολογίστε το $RQ.$

Ελάχιστη τιμή

Αν $-2\leq x\leq5$, $-3\leq y\leq 7$, $4\leq z\leq 8$, και $w=xy-z$, τότε ποια είναι η ελάχιστη τιμή του $w$;

Λόγος εμβαδών σε κανονικό εξάγωνο

 Το $ABCDEF$ είναι κανονικό εξάγωνο. Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{(FGDE)}{(BGC)}.$

Τρεις κύκλοι

Αν ο κύκλος $C_2$ έχει ακτίνα $9$ και ο κύκλος $C_3$ έχει ακτίνα $4$, να βρείτε την ακτίνα του κύκλου $C_1$.
 

Κύκλος και τετράγωνο

Κύκλος διέρχεται από τις κορυφές $A,D$ τετραγώνου $ABCD$ και εφάπτεται στην πλευρά του $BC$. Αν το τετράγωνο έχει πλευρά $14$, βρείτε την ακτίνα του κύκλου.
 

Τέσσερις άνισοι θετικοί ακέραιοι

Υπάρχουν τέσσερις άνισοι, θετικοί ακέραιοι  $a, b, c$ και $N$  τέτοιοι ώστε $N= 5a+3b+5c$. Επίσης ισχύει ότι $N=4a+5b+4c$ και ότι ο $N$ βρίσκεται μεταξύ του $131$ και του $150$. Ποια είναι η τιμή του $a+b+c$;

Μέγιστη τιμή ελαχίστου!

Για κάθε πραγματικό αριθμό $x$, ορίζουμε $f(x)$ να είναι ο μικρότερος από τους αριθμούς $2x+2, \dfrac{1}{2}x+1, -\dfrac{3}{4}x+7.$ Ποια είναι η μέγιστη τιμή του $f(x)$;

What is the time?

Ανισότητα με τρεις θετικές μεταβλητές που έχουν άθροισμα το $1$

 Αν $α,β,γ>0$ με $α+β+γ=1$, να αποδείξετε ότι $(\dfrac{1}{α}-1)(\dfrac{1}{β}-1)(\dfrac{1}{γ}-1)\geq 8.$

Ανισότητα με συνθήκη $α+β=1$ όπου $α,β$ θετικοί

 Αν $α,β>0$ με $α+β=1$, να αποδείξετε ότι $(α+\dfrac{1}{α})^2+(β+\dfrac{1}{β})^2\geq \dfrac{25}{2}$.

Ανισότητα με μία μεταβλητή

Για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ να αποδείξετε ότι $x^4-x+\dfrac{1}{2}>0.$ 

Μία εξίσωση, τέσσερις άγνωστοι

Βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς $α,β,γ,δ$ για τους οποίους ισχύει ότι $α^2+β^2+γ^2+δ^2=α(α+β+γ+δ).$

Υπολογίστε το ημίτονο γωνίας ισοσκελούς τραπεζίου

Ισοσκελές τραπέζιο  ABCD  έχει AB = 7,  BC = 18,  CD = 7  και  DA = 30.  Βρείτε το ημΑ.

Κυνήγι γωνίας

 

Ελάχιστη τιμή που υπολογίζεται με γεωμετρικά επιχειρήματα!

Εξίσωση με ριζικό τέταρτης τάξεως

 Να λύσετε την εξίσωση $\sqrt[4]x=\dfrac{18}{11-\sqrt[4]x}.$

Σύστημα που λύνεται γρήγορα αν παραγοντοποιήσεις!

 Αν $x+y=12$ και $x^2+3xy+2y^2=180$ τότε βρείτε το $4x+2y.$

Εξίσωση μεγάλου βαθμού με γρήγορη λύση

 Να λύσετε την εξίσωση $x^6+x^3+1=\dfrac{511}{x^3-1}.$

Παράσταση με ριζικά

 Αν $x=\dfrac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{2}$ και $y=\dfrac{\sqrt{17}-\sqrt{13}}{2}$ τότε $x^2-xy+y^2=$?

Εφαπτόμενα τμήματα και λόγοι

 

Αν οι $ΕΑ$ και $ΕD$ είναι εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου από το $Ε$, $DB$ είναι κάθετη στη διάμετρο $AC$ του κύκλου με κέντρο $Ο$ και $\dfrac{EA}{AO}=12$, βρείτε το λόγο $\dfrac{AB}{BC}.$

Εκθετική εξίσωση (4)

 Να λύσετε την εξίσωση $(5^x+5^x+5^x+5^x+5^x)^{90}=125^{50}$.

Ανίσωση με απόλυτα και ρίζες

 Να λύσετε την ανίσωση $|\sqrt x-3\sqrt 2|<2\sqrt 2$.

Υπολογισμός χορδής

 

Αν $BE=CE$, υπολογίστε το μήκος της χορδής $BE$.

Τρία ισοσκελή τρίγωνα!

 Τα τρία τρίγωνα $ABD,BCD,ACD$ είναι ισοσκελή. Αν $ΑΒ=2$ τότε πόσο είναι η $ΑΒ$;

Υπολογισμός παράστασης με συνθήκη

 Αν $(x^2+y^2)^3=(x^3+y^3)^2$ και $xy\neq 0$ τότε $\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2=?$

Συστηματάκι!

 Αν $\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=2$ και $\dfrac{5}{x}-\dfrac{3}{y}=\dfrac{1}{6}$ τότε $x+y=?$

Εμβαδόν τετραγώνου μέσα σε ορθογώνιο

Το $ABCD$ είναι ορθογώνιο και το $EFGH$ είναι τετράγωνο. Βρείτε το εμβαδόν του $EFGH.$

        

Θαλής και ομοιότητα από την Alabama

 Το $ABCD$ είναι τραπέζιο με $AB\parallel EF\parallel CD.$ Αν $AB=10$, $DC=70$ και $\dfrac{AE}{ED}=3,$ τότε πόσο είναι η $EF$;

Πόσο είναι η εφαπτομένη;

 

Χάραξη γραφικής παράστασης

 

Αναλογία και μετά υπολογισμός κλάσματος

Αν $\dfrac{A}{3}=\dfrac{B}{4}=\dfrac{C}{5}$ τότε $\dfrac{-3A+2B+5C}{A+B+C}=$?

Υπολογισμός τριγωνομετρικής παράστασης

$\sqrt{ημ^2x+\dfrac{1}{ημ^2x}+συν^2x+\dfrac{1}{συν^2x}-(εφ^2x+σφ^2x)}=?$

(Α) $\dfrac{1}{2}$    (Β) $\dfrac{\sqrt3}{2}$  (Γ) $1$  (Δ) $\dfrac{2\sqrt3}{3}$    (Ε) $\sqrt 3$

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Άθροισμα λύσεων τριγωνομετρικής εξίσωσης

Βρείτε το άθροισμα όλων των λύσεων $x\in [-90^o,90^o]$ της εξίσωσης $\rm{2εφxημx+2ημx=εφx+1}.$

Προπόνηση στις ανισότητες

Ανισότητα (2)

Ανισότητα (6)

Ανισότητα στο [0,1]

Ανισότητα (11)

Ανισότητα (12)

Ανισότητα (13)

Ανισότητα με ριζικά

Σύγκριση αριθμών (ΙΙ)

Ανισότητα (14)

 Ανισότητα (15)

Ανισότητα (16)

Τριπλή ισότητα

Ελάχιστο παράστασης

Μετασχηματισμοί της βασικής ανισότητας $α^2+β^2\geq2αβ$

 Aν $α,β$ είναι δύο τυχαίοι θετικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι:

① $2(α^2+β^2)\geq(α+β)^2$

② $(a+\beta)^2\geq 4a\beta$

③ $\dfrac{a}{\beta}+\dfrac{\beta}{a}\geq 2$

④ $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\beta}\geq \dfrac{4}{a+\beta}$

⑤ $α+β \geq 2 \sqrt {αβ}$

⑥ $\dfrac{a^2+\beta^2}{a+\beta}\geq \dfrac{a+\beta}{2}$

Απόδειξη ανισοτήτων με την αναλυτική μέθοδο

 

Υπάρχουν τέτοιοι θετικοί αριθμοί;

 Υπάρχουν θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a, b, c, x$ τέτοιοι ώστε $a^2+ b^2 = c^2$  και $(a + x)^2+ (b +x)^2 = (c + x)^2$ ;

Πολλαπλάσιο του $48$

 Οι πρώτοι αριθμοί $a,b,c$  είναι μεγαλύτεροι του $3$. Να αποδείξετε ότι o αριθμός $(a-b)(b-c)(c-a)$ είναι πολλαπλάσιο του 48.

Συνεπαγωγή (2)

 Οι αριθμοί $a, b, c$ είναι τέτοιοι ώστε $3a + 4b = 3c$ και $4a - 3b = 4c$. Αποδείξτε ότι $a^2 + b^2 = c^2.$

Επανάληψη στο κεφάλαιο των συναρτήσεων για τα παιδιά του Β4

Η τράπεζα θεμάτων περιέχει κάποιες ασκήσεις στις παραγράφους: 

➽Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης 

➽Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης

Μπορείτε να δείτε τις ασκήσεις

15116, 15112, 14983, 15017, 15018, 15114, 15115, 14971, 14973, 15811, 16129, 14972, 14976

Προπόνηση στις ιδιότητες της διάταξης (για το Α1)

Καλημέρα σας! Για τη Δευτέρα, ετοιμάστε τις παρακάτω ασκήσεις:

 

Δύο ασκήσεις με διανύσματα

 

Διάταξη πραγματικών αριθμών για το Α1

 

Το θεώρημα Θαλή στην τράπεζα θεμάτων

 

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Α1

Υπολογισμός αθροίσματος κλασμάτων 

Ένας τουλάχιστον είναι ίσος με 1

Είναι όλοι τους ρητοί

Δεν υπάρχουν τέτοιοι ακέραιοι

Αναλογίες

Αριθμητική τιμή παράστασης με συνθήκη

Να βρεθούν οι ακέραιοι (1)

Να βρεθούν οι ακέραιοι (2)

Υπολογισμός παράστασης

Να βρεθούν οι ακέραιοι (3)

Να δείξετε ότι το άθροισμα των κύβων τους ισούται με το τριπλάσιο του γινομένου τους

Πολλαπλάσιο του 34

Παραγοντοποίηση (2)