Έστω τρίγωνο $ΑΒΓ$ και $Ο$ το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου. Αν $Η$ είναι σημείο τέτοιο ώστε $$\overrightarrow {ΟΗ}=\overrightarrow {ΟΑ}+\overrightarrow {ΟΒ}+\overrightarrow {ΟΓ},$$
να αποδείξετε ότι το $Η$ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου $ΑΒΓ.$
Δίνεται κύκλος με κέντρο $Ο$ και έστω δύο κάθετες μεταξύ τους χορδές $ΑΒ,ΓΔ$ οι οποίες τέμνονται στο σημείο $Ρ$. Να αποδείξετε ότι:
(1) $ \overrightarrow {ΟΑ}+\overrightarrow {ΟΒ}+\overrightarrow {OΓ}+\overrightarrow {ΟΔ}=2\overrightarrow {ΟΡ}$
(2) $ \overrightarrow {ΡΑ}+\overrightarrow {ΡΒ}+\overrightarrow {ΡΓ}+\overrightarrow {ΡΔ}=2\overrightarrow {ΡΟ}$
(3) Αν $Ε$ και $Ζ$ είναι τα μέσα των χορδών $ΒΓ$ και $ΑΔ$ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το $ΟΕΜΖ$ είναι παραλληλόγραμμο.
Για τα διανύσματα $\overrightarrow α$ και $\overrightarrow β$ ισχύει ότι $|x\overrightarrow α+(x+1)\overrightarrow β|\geq \dfrac{|\overrightarrow α|+|\overrightarrow β|}{2}$ για κάθε $x\in \mathbb R.$ Να αποδείξετε ότι $\overrightarrow α+\overrightarrowβ=\overrightarrow 0.$
Αποδείξτε ότι $x^{12}-x^9+x^4-x+1>0$ για κάθε $x\in \mathbb R.$
Έστω $x,y$ δύο θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $x+y=1$. Αποδείξτε ότι
$$(1+\dfrac{1}{x})(1+\dfrac{1}{y})\geq 9.$$
Το σχήμα αποτελείται από ημικύκλια ακτίνας $5$. Ποιο είναι το εμβαδόν του;
Οι αριθμοί $a,b,c,d$ είναι μεγαλύτεροι του $2$. Σχηματίζουμε τους αριθμούς $A=\dfrac{a+b}{c+d}$, $B=\dfrac{a\cdot b}{c+d}$, $C=\dfrac{a+b}{c\cdot d}$ και $D=\dfrac{a\cdot b}{c\cdot d}$.
Ποιος από τους $A,B,C,D$ είναι ο μεγαλύτερος;
Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης
$(1^2+2^2+3^2+...+2021^2)-(0\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot 4+...+2020\cdot 2022)$.
Ο Μάνθος διάλεξε δύο θετικούς αριθμούς α και β. Ο αριθμός α είναι μικρότερος από το 1 ενώ ο αριθμός β είναι μεγαλύτερος από το 1. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι ο μεγαλύτερος;
1) $α+β$
2) $α\cdot β$
3) $\dfrac{α}{β}$
4) $α^{2022}$
5) $β$
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\sqrt 2+\sqrt[3] 3$ είναι άρρητος.
Το ABC είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο με AB=AC=10 και BC = 12. Τα σημεία S και Q είναι πάνω στην BC τέτοια ώστε BS=RC=3. Τα μέσα των AB και AC είναι τα P και Q αντίστοιχα. Οι κάθετες από τα P και R στην SQ τη συναντούν στα M και N αντίστοιχα. Βρείτε το μήκος MN.
Αν $-2\leq x\leq5$, $-3\leq y\leq 7$, $4\leq z\leq 8$, και $w=xy-z$, τότε ποια είναι η ελάχιστη τιμή του $w$;
Αν ο κύκλος $C_2$ έχει ακτίνα $9$ και ο κύκλος $C_3$ έχει ακτίνα $4$, να βρείτε την ακτίνα του κύκλου $C_1$.
Κύκλος διέρχεται από τις κορυφές $A,D$ τετραγώνου $ABCD$ και εφάπτεται στην πλευρά του $BC$. Αν το τετράγωνο έχει πλευρά $14$, βρείτε την ακτίνα του κύκλου.
Υπάρχουν τέσσερις άνισοι, θετικοί ακέραιοι $a, b, c$ και $N$ τέτοιοι ώστε $N= 5a+3b+5c$. Επίσης ισχύει ότι $N=4a+5b+4c$ και ότι ο $N$ βρίσκεται μεταξύ του $131$ και του $150$. Ποια είναι η τιμή του $a+b+c$;
Για κάθε πραγματικό αριθμό $x$, ορίζουμε $f(x)$ να είναι ο μικρότερος από τους αριθμούς $2x+2, \dfrac{1}{2}x+1, -\dfrac{3}{4}x+7.$ Ποια είναι η μέγιστη τιμή του $f(x)$;
Αν $α,β,γ>0$ με $α+β+γ=1$, να αποδείξετε ότι $(\dfrac{1}{α}-1)(\dfrac{1}{β}-1)(\dfrac{1}{γ}-1)\geq 8.$
Αν $α,β>0$ με $α+β=1$, να αποδείξετε ότι $(α+\dfrac{1}{α})^2+(β+\dfrac{1}{β})^2\geq \dfrac{25}{2}$.
Βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς $α,β,γ,δ$ για τους οποίους ισχύει ότι $α^2+β^2+γ^2+δ^2=α(α+β+γ+δ).$
Ισοσκελές τραπέζιο ABCD έχει AB = 7, BC = 18, CD = 7 και DA = 30. Βρείτε το ημΑ.
Αν $x+y=12$ και $x^2+3xy+2y^2=180$ τότε βρείτε το $4x+2y.$
Αν $x=\dfrac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{2}$ και $y=\dfrac{\sqrt{17}-\sqrt{13}}{2}$ τότε $x^2-xy+y^2=$?
Τα τρία τρίγωνα $ABD,BCD,ACD$ είναι ισοσκελή. Αν $ΑΒ=2$ τότε πόσο είναι η $ΑΒ$;
Αν $(x^2+y^2)^3=(x^3+y^3)^2$ και $xy\neq 0$ τότε $\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2=?$
Αν $\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=2$ και $\dfrac{5}{x}-\dfrac{3}{y}=\dfrac{1}{6}$ τότε $x+y=?$
Το $ABCD$ είναι τραπέζιο με $AB\parallel EF\parallel CD.$ Αν $AB=10$, $DC=70$ και $\dfrac{AE}{ED}=3,$ τότε πόσο είναι η $EF$;
$\sqrt{ημ^2x+\dfrac{1}{ημ^2x}+συν^2x+\dfrac{1}{συν^2x}-(εφ^2x+σφ^2x)}=?$
(Α) $\dfrac{1}{2}$ (Β) $\dfrac{\sqrt3}{2}$ (Γ) $1$ (Δ) $\dfrac{2\sqrt3}{3}$ (Ε) $\sqrt 3$
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.
Βρείτε το άθροισμα όλων των λύσεων $x\in [-90^o,90^o]$ της εξίσωσης $\rm{2εφxημx+2ημx=εφx+1}.$
Aν $α,β$ είναι δύο τυχαίοι θετικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι:
① $2(α^2+β^2)\geq(α+β)^2$
② $(a+\beta)^2\geq 4a\beta$
③ $\dfrac{a}{\beta}+\dfrac{\beta}{a}\geq 2$
④ $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\beta}\geq \dfrac{4}{a+\beta}$
⑤ $α+β \geq 2 \sqrt {αβ}$
⑥ $\dfrac{a^2+\beta^2}{a+\beta}\geq \dfrac{a+\beta}{2}$
Υπάρχουν θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a, b, c, x$ τέτοιοι ώστε $a^2+ b^2 = c^2$ και $(a + x)^2+ (b +x)^2 = (c + x)^2$ ;
Οι πρώτοι αριθμοί $a,b,c$ είναι μεγαλύτεροι του $3$. Να αποδείξετε ότι o αριθμός $(a-b)(b-c)(c-a)$ είναι πολλαπλάσιο του 48.
Οι αριθμοί $a, b, c$ είναι τέτοιοι ώστε $3a + 4b = 3c$ και $4a - 3b = 4c$. Αποδείξτε ότι $a^2 + b^2 = c^2.$
➽Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης
➽Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης
Μπορείτε να δείτε τις ασκήσεις
15116, 15112, 14983, 15017, 15018, 15114, 15115, 14971, 14973, 15811, 16129, 14972, 14976
.png)
