Πολλαπλάσιο του 81

 Αν $\displaystyle{A=2^{4\lambda+1}-2^{2\lambda}-1}$ και $\displaystyle{B=2^{ 2\rho}+15\rho-1}$ με  $\displaystyle{ \lambda, \rho \in \mathbb{N}^*}$,

να δείξετε οτι ο $\displaystyle{ A\cdot B}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{81}$.

Τουλάχστον ένας είναι ίσος με k

 Αν $\displaystyle{\alpha+\beta+\gamma=\kappa}$ και $\displaystyle{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\frac{1}{\kappa}}$, τότε να δειχτεί ότι ένας απ' τους $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ είναι ίσος με $\displaystyle{\kappa}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,\kappa \in \mathbb R^*}.$

Γεωμετρική ανισότητα σε τρίγωνο

 Αν $\displaystyle{M,N,P}$ είναι σημεία επί των πλευρών $\displaystyle{B\Gamma, \Gamma A, AB,}$ αντίστοιχα ενός τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$,

 να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{(B\Gamma)+( \Gamma A)+( AB)<2\left[(AM)+( BN)+(\Gamma P)\right]<3\left[(B\Gamma)+( \Gamma A)+( AB)\right]}$ .

Γεωμετρική ανισότητα για την περίμετρο εξαγώνου

  Έστω $\displaystyle{AB\Gamma \Delta EZ}$ ένα κυρτό εξάγωνο με περίμετρο $\displaystyle{ \Pi}$. 

Να δείξετε ότι $\displaystyle{\Pi> \frac{2}{3}(A\Delta +BE +\Gamma Z)}$.

Είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου

 Αν $\displaystyle{a,b,c}$ ακέραιοι αριθμοί με $\displaystyle{a+b+c=0}$ να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{2a^{4}+2b^{4}+2c^{4}}$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου αριθμού.

Ανισότητα (6)

 Αν $\displaystyle{x>0}$, τότε να δείξετε ότι $\displaystyle{\frac{x^2+3x+3}{x+1}+\frac{1}{x}>4}$ .

Μία τουλάχιστον εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες

 Έστω $p, q, r$ θετικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι τουλάχιστον μία από τις παρακάτω εξισώσεις έχει πραγματικές ρίζες:

$px^2+2qx+r=0$

$rx^2+2px+q=0$

$qx^2+2rx+p=0$

Να βρεθούν οι τιμές ώστε το κλάσμα να είναι ακέραιος

Να προσδιορίσετε όλες τις τιμές του ακέραιου αριθμού $\alpha$ για τις οποίες ο ρητός αριθμός $A =\dfrac{(a^2-1)^3}{(a-1)^4}$ είναι ακέραιος.

Βρείτε τους πέντε αριθμούς

 Οι πραγματικοί αριθμοί $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon$ είναι τέτοιοι ώστε  $\alpha< \beta< \gamma< \delta< \epsilon$. Βρίσκουμε όλα τα αθροίσματα που δημιουργούνται με δύο όρους από τους $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon$ και παρατηρούμε ότι τα τρία μικρότερα από αυτά είναι 128, 144 και 148, ενώ τα δύο μεγαλύτερα είναι 204 και 192. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon.$

Ισοσκελές τρίγωνο με ίσες πλευρές διπλάσιες της βάσης του

 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{B\Gamma =\alpha}$ και $\displaystyle{AB = A\Gamma=2\alpha}$ . Η παράλληλη ευθεία από την κορυφή $\displaystyle{\Gamma}$ προς την πλευρά $\displaystyle{AB}$ τέμνει την ευθεία της διχοτόμου $\displaystyle{B\Delta}$ στο σημείο $\displaystyle{E}$. Η ευθεία $\displaystyle{AE}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{B\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{Z}$. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{ABZ}$ είναι ισοσκελές.

                                                                                                            (Θαλής, 2012)

Να απλοποιηθεί η παράσταση (2)

 Να απλοποιηθεί η παράσταση : $\displaystyle{K=\frac{\alpha^3 +{\beta}^3 -\alpha^2 +\beta^2 +(\alpha\beta+\beta^2 )(\alpha-2\beta)}{(\alpha+\beta)^2 -\alpha-\beta}}$ αν $\displaystyle{\alpha +\beta \ne 0}$ και $\displaystyle{\alpha +\beta \ne 1}$.

Παραμετρική εξίσωση (1)

(α) Αν $\displaystyle{\kappa}$ ακέραιος, να λύσετε την εξίσωση : $\displaystyle{\frac{\kappa x}{2}+\frac{x}{4}= \kappa(x + 2) -\frac{3(\kappa x-1)}{4}}$. 

(β) Για ποιες τιμές του ακέραιου $\displaystyle{\kappa}$ η παραπάνω εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις;

 

Να απλοποιηθεί η παράσταση (1)

 Να απλοποιηθεί η παράσταση:

$\displaystyle{A (x) = \frac{1+{{x}^{4}}+{{(1+x)}^{3}}+x{{(1+x)}^{3}}}{1+{{x}^{2}}+{{(1+x)}^{2}}}-\frac{2(1+{{x}^{3}})+{{(1+x)}^{3}}}{3(1+{{x}^{2}})}}$.

Παραγοντοποίηση (2)

 Αν $\displaystyle{\alpha, \beta , \gamma}$ είναι πραγματικοί αριθμοί, με κατάλληλο χωρισμό των όρων της σε ομάδες, να  παραγοντοποιήσετε την παράσταση: 

$\displaystyle{A= \alpha ^4 + 2\alpha^3 \beta + \alpha^2 \beta^2 − \alpha^2 \beta^2\gamma^2 − 2\alpha \beta^3\gamma^2 − \beta^4\gamma^2 − \alpha^2\gamma^2 + \beta^2\gamma^4}$. 

Πολλαπλάσιο του 34

  Αν οι αριθμοί $\displaystyle{\mu, \nu }$ είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύει ότι  $\displaystyle{4^{\mu -2} + 4^{\nu +2 } \le  2^{\mu+ \nu +1}}$ , να αποδείξετε ότι ο ακέραιος $\displaystyle{A = 2^\mu +2^\nu}$  είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{34}$.

Να δείξετε ότι το άθροισμα των κύβων τους ισούται με το τριπλάσιο του γινομένου τους

 Αν οι πραγματικοί αριθμοί ικανοποιούν τις ισότητες $\displaystyle{x^2- y  = z^2 , y^2-z = x^2 , z^2-x = y^2}$ , να αποδείξετε ότι:

(α) $\displaystyle{x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz}$ .

(β) Ένας τουλάχιστον από τους $\displaystyle{x, y, z}$ ισούται με $\displaystyle{0}$.

Να βρεθούν οι ακέραιοι (3)

 Να προσδιορίσετε τους ακέραιους $\displaystyle{x, y}$ και $\displaystyle{z}$ που είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{0\le x\le y\le z}$ και  $\displaystyle{xyz + xy + yz + zx + x + y + z = 44}$ .

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{x,y}$ που ικανοποιούν τη σχέση: $\displaystyle{x^6+ 2 x^3 y^2 + 3x^3 + y^4 + 3y^2 -40 = 0}$

Υπολογισμός παράστασης

 Αν  $\displaystyle{a, b, c \in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{(a-b)(b-c)(c- a)\ne 0}$ τότε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:  

$A=\dfrac{a^2-1}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^2-1}{(b-a)(b-c)}+\dfrac{c^2-1}{(c-a)(c-b)}$

Ισότητα τμημάτων

Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\widehat{A}>\widehat{B}}$ οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{A}}$ και $\displaystyle{\widehat{B}}$ τέμνονται στο $\displaystyle{I}$. Στην πλευρά $\displaystyle{AB}$ παίρνουμε τμήμα $\displaystyle{B\Delta = B\Gamma−A\Gamma}$. 

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{ I\Delta =IA}$.

Ανισότητα (5)

 Αν $\displaystyle{\alpha ,\beta,\gamma }$ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός να αποδείξετε ότι:     $\displaystyle{{{\left( \frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\gamma }+\frac{\gamma }{\alpha } \right)}^{2}}\ge 3\left( \frac{\alpha }{\gamma }+\frac{\gamma }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha } \right)}$

Παραγοντοποίηση (1)

Να αναλυθεί το πολυώνυμο $\displaystyle{x^6 − 2x^5 + x^2 − x − 2}$ σε γινόμενο τριών πολυωνύμων θετικού βαθμού.

Απλοποίηση παράστασης με ριζικά

 Να απλοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}}$. 

Να βρεθούν οι ακέραιοι (2)

Οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{x, y}$ με $\displaystyle{x > y}$ είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{x^3 − y^3 + x^2y − xy^2 = 49(x − y)}$. Να προσδιορίσετε τους αριθμούς $\displaystyle{x , y}$.

Να βρεθούν οι ακέραιοι (1)

 Να βρεθούν οι ακέραιοι $\displaystyle{\alpha ,\beta}$  για τους οποίους ισχύει η ισότητα $\displaystyle{\alpha\beta^2 + 2\alpha\beta + \alpha = 2\beta^2 + 4\beta + 3}$.

Αριθμητική τιμή παράστασης με συνθήκη

 Αν για τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x, y, z}$ ισχύει ότι $\displaystyle{xyz = 1}$, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 

$\displaystyle{K=\frac{1}{y+1-\displaystyle\frac{y}{x+1}}+ \frac{1}{z+1-\displaystyle\frac{z}{y+1}} + \frac{1}{x+1-\displaystyle\frac{x}{z+1}}}$.

Διαιρετότητα

Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{\nu}$ για τους οποίους ο αριθμός $\displaystyle{2\nu + 1}$ διαιρεί τον αριθμό $\displaystyle{\nu^2 + \nu- 2}.$

Πολλαπλάσιο του 128

 Αν $\displaystyle{\alpha}$ περιττός ακέραιος, να δειχθεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{\alpha^4 + 6\alpha^2 − 7}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{128}$.

Τριπλή ισότητα

  Έστω ότι για θετικούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{\alpha, \beta ,\gamma}$  ισχύει $\displaystyle{\alpha \beta \left( \frac{\alpha +\beta }{2}-\gamma  \right) + \beta \gamma \left( \frac{\beta +\gamma }{2}-\alpha  \right) + \gamma \alpha \left( \frac{\gamma +\alpha }{2}-\beta  \right) = 0}$. 

Να αποδειχτεί ότι $\displaystyle{\alpha= \beta=\gamma}$.

Τρεις πρώτοι

 Αν οι φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{a , a+d , a+2d}$, είναι πρώτοι, μεγαλύτεροι του $3$, να αποδείξετε ότι το $6$ διαιρεί τον $d.$

Παιχνίδι με τριώνυμα

 Ο καθηγητής έγραψε το τριώνυμο $\displaystyle{x^2 +10x+20}$ στον πίνακα. Στη συνέχεια κάποιοι μαθητές είτε πρόσθεταν $1$, είτε αφαιρούσαν $1$ , (όχι και τα δύο ταυτόχρονα), από τον συντελεστή του $x$, ή  από τον σταθερό όρο και μετά από  λίγο, εμφανίσθηκε το τριώνυμο  $\displaystyle{x^2 +20x +10}$. Nα αποδείξετε ότι κάποιο από τα τριώνυμα που εμφανίσθηκαν διαδοχικά στον πίνακα είχε ακέραιες ρίζες.

Αναλογίες

  Αν $\displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} , a+b+c=1}$ και $\displaystyle{a^2 +b^2 +c^2 =1}$ . με $\displaystyle{a , b , c \neq 0}$, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{xy +yz +zx=0.}$

Δεν υπάρχουν τέτοιοι ακέραιοι

α) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ακέραιος αριθμός $n$ τέτοιος ώστε ο $n^3+3n$ να είναι περιττός.

β) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί $x$ και $y$ τέτοιοι ώστε να ισχύει: $5x^3-4y^2-6xy+15x+6y-5=0$.

Το άθροισμα των 7 αποστάσεων να γίνει ελάχιστο

 Επτά πόλεις $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7$ βρίσκονται, με αυτή τη διάταξη, πάνω σε μία ευθεία. Πού πρέπει να κτιστεί ένα εργοστάσιο, ώστε το άθροισμα των αποστάσεών του από τις επτά πόλεις να είναι το ελάχιστο δυνατό;

Ανισότητα (4)

 Αν $a,b,c$ τα μήκη πλευρών ενός τριγώνου, να αποδείξετε την ανισότητα: $\left(b^2+c^2-a^2\right)^2\leq 4b^2c^2$.

Ανισότητα (3)

 Αν $\alpha>0$, $\beta > 0$ να αποδείξετε ότι $\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}\leq \sqrt{\dfrac{\alpha^2}{\beta}}+ \sqrt{\dfrac{\beta^2}{\alpha}}$.

Δεν υπάρχουν τέτοιοι ακέραιοι

 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι $\displaystyle{x, y, z}$ τέτοιοι ώστε να ικανοποιούν την ισότητα $\displaystyle{x^2 + y^2 - 8z = 6}$.

Μόνο μία συνάρτηση

 Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} , h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{g(g(x))=x}$  για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ και δίνεται πραγματικός αριθμός $\displaystyle{\alpha}$ με $\displaystyle{|\alpha| \ne 1}$. 

Ν' αποδείξετε ότι υπάρχει μία και μόνο μία συνάρτηση $\displaystyle{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} }$ τέτοια ώστε $\displaystyle{\alpha f(x)+ f(g(x))=h(x)}$  για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$. 

                                                                                                                                                 (Ελλάδα, 1987)

Είναι όλοι τους ρητοί

 Έστω $x, y, z\in \mathbb R^*$ ώστε οι $xy, yz, zx$ να είναι ρητοί.

(α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $x^2+y^2+z^2$ είναι ρητός.

(β) Αν επιπλέον γνωρίζετε ότι ο αριθμός $x^3+y^3+z^3$ είναι μη μηδενικός ρητός, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί  $x, y, z$ είναι όλοι τους ρητοί.

Ανισότητα (2)

Αν $a,b,c\in\mathbb R^*$ να αποδείξετε ότι 

$\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2}+\dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2}+\dfrac{(c+a)^2}{c^2+a^2}\leq6.$

Ανισότητα (1)

 Αν $a,b,c\in\mathbb R$ διαφορετικοί ανά δύο να αποδείξετε ότι 

$\dfrac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+\dfrac{b^2+c^2}{(b-c)^2}+\dfrac{c^2+a^2}{(c-a)^2}>\dfrac{3}{2}.$

Για τα παιδιά του ΓΘετ1

Καλησπέρα σε όλους.

Σας προτείνω  ένα ωραίο διαγώνισμα για το Σαββατοκύριακο.

Καλή επιτυχία!

Οι ασκήσεις της τράπεζας θεμάτων για την Γεωμετρία της Α΄ Λυκείου

 Τράπεζα θεμάτων για την Γεωμετρία της Α΄ Λυκείου

Στο παραπάνω έγγραφο μπορείτε να βρείτε τις εκφωνήσεις των ασκήσεων που ανέβηκαν στην τράπεζα θεμάτων έως τις 8-8-2021.

Είναι ταξινομημένες ανά κεφάλαιο.

Ευχαριστούμε πολύ τους συναδέλφους Στέλιο Μιχαήλογλου και Δημήτρη Πατσιμά για τον κόπο τους.

Οι ασκήσεις της τράπεζας θεμάτων για την Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

 Τράπεζα θεμάτων για την Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

Στο παραπάνω έγγραφο μπορείτε να βρείτε τις εκφωνήσεις των ασκήσεων που ανέβηκαν στην τράπεζα θεμάτων έως τις 23-7-2021.

Είναι ταξινομημένες ανά κεφάλαιο.

Ευχαριστούμε πολύ τους συναδέλφους Στέλιο Μιχαήλογλου, Δημήτρη Πατσιμά και Νίκο Τούντα για τον κόπο τους.