Σύστημα 3 ανισώσεων

 Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς $a,b,c$ που ικανοποιούν τις ανισώσεις

$$\begin{cases}a^3b+3\leq4c\\b^3c+3\leq4a\\c^3a+3\leq4b\end{cases}$$

Σύστημα από τη Βουλγαρία (1967)

 Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα

$$\begin{cases}x^2+x-1=y\\y^2+y-1=z\\z^2+z-1=x\end{cases}$$

Ανισότητα με 4 θετικούς αριθμούς που έχουν γινόμενο τη μονάδα

 Αν $a,b,c,d$ είναι τέσσερις θετικοί αριθμοί με $abcd=1$ να αποδείξετε ότι;

$$a^4+b^4+c^4+d^4\geq4+(a-b)^2$$

Ανισότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο

Έστω $a,b,c$ τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα $a.$ Να αποδείξετε ότι $$3<\dfrac{a^3-b^3-c^3}{a(a-b)(a-c)}\leq 2+\sqrt 2$$

Πολυώνυμο με τον μικρότερο δυνατό βαθμό με συγκεκριμένες ιδιότητες

 Να βρείτε πολυώνυμο $P(x)$ με το μικρότερο δυνατό βαθμό το οποίο 

• έχει ακέραιους συντελεστές
• παραγοντοποιείται πλήρως σε γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων
• όλες του οι ρίζες είναι ακέραιοι αριθμοί
• $P(0)=-1$ 
• $P(3)=128$ 

Εξίσωση με τρεις αγνώστους που ξεπερνούν τη μονάδα

Βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x>1,y>1,z>1$ που ικανοποιούν την εξίσωση $$x+y+z+\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{3}{y-1}+\dfrac{3}{z-1}=2(\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}+\sqrt{z+2}).$$

Εύκολη ανισότητα

Εστω $a,b,c$ τρεις μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί ώστε $a\geq b\geq c.$ Να αποδείξετε ότι                     $$\dfrac{a^3-c^3}{3}\geq abc(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a})$$                      

Πότε ισχύει η ισότητα;

Ανισότητα από Σκανδιναβικό διαγωνισμό

Αν $a,b,c$ είναι τρεις θετικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\leq \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}$$

Nordic Math Contest

Έξισώσεις για την Β΄ Γυμνασίου

Να λυθούν οι εξισώσεις:

•  $\dfrac{\sqrt{k+4}}{2}=6$
•  $\displaystyle{\sqrt{33+\sqrt y}}=6$
•  $\sqrt{3b+10}=4$
•  $\dfrac{3m}{7}=\dfrac{21}{m}$

Ουγγρική άσκηση από διαγωνισμό του 1896!

Για τους αριθμούς $x,y$ ισχύουν οι σχέσεις $x^2-3xy+2y^2+x-y=0$ και $x^2-2xy+y^2-5x+7y=0.$ 

Να αποδείξετε ότι $xy-12x+15y=0.$

Έξι πραγματικοί αριθμοί με δύο συνθήκες

 Αν για τους μη μηδενικούς αριθμούς $a,b,c,x,y,z$ ισχύουν οι σχέσεις $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1,$ $\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=0,$ να αποδείξετε ότι $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1.$

Έξι πραγματικοί αριθμοί

Οι $\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\beta _1,\beta _2,\beta _3$ είναι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις:

$\alpha _1\beta _1+\alpha _2\beta _2+\alpha _3\beta _3=0$

$\alpha _1\alpha _3-\alpha^2 _2>0$ και $\beta _1\beta _2\beta _3\neq 0.$

Να αποδείξετε ότι $\beta _1\beta _3-\beta^2 _2<0.$

Εξίσωση με ριζικά

Να λυθεί η εξίσωση $\sqrt{x^2+x}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}=\sqrt{x+3}.$

Εξίσωση στους φυσικούς

 Να λυθεί στο σύνολο των φυσικών αριθμών η εξίσωση $x^2+y^2+z^2=1980.$

Ανισότητα με συνθήκη

 Έστω $x,y$ είναι πραγματικοί αριθμοί με $x>y$ και $xy=1.$ 

Να αποδείξετε ότι $\dfrac{x^2+y^2}{x-y}\geq 2\sqrt{2}.$ 

Πότε ισχύει η ισότητα;

Ανισότητα από τη Σερβία

Αν $x>y\geq 0$ να αποδείξετε ότι 

$$x+\dfrac{4}{\left(x-y \right)\left(y+1 \right)^2}\geq 3.$$

Πεντάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με τρεις πλευρές ίσες

 Ένα πεντάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Δύο πλευρές του είναι 14 και 48 και σχηματίζουν ορθή γωνία. Οι άλλες τρεις είναι πλευρές του είναι ίσες. Βρείτε την περίμετρό του.

Μερικές ερωτήσεις σωστού-λάθους

• Για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει ότι $(x+|ημx|)(x-|ημx|)\geq 0.$
• Υπάρχουν $x, y\in \mathbb R$ ώστε $(|x|-|ημx|)(|y|-|ημy|)<0.$
• Για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει ότι $ημx\leq |π-x|.$
• Υπάρχει $x\in \mathbb R$ ώστε $συνx> |\dfrac{π}{2}-x|.$
• Για κάθε $x, y\in \mathbb R$ ισχύει ότι $(x^2+συν^2 x)(y^2+συν^2 y|)\geq 1.$
• Για κάθε $x\in \mathbb R^*$ ισχύει $|xημ\dfrac{1}{x}|\leq 1.$

Με αφορμή την άσκηση 17349 της τράπεζας θεμάτων

 Ένα πρόβλημα της τράπεζας θεμάτων είναι το 17349.

Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 3 και σημείο Ε της πλευράς ΑΔ, ώστε $ΑΕ=4-\sqrt 3$. Στο ημιεπίπεδο που ορίζουν η ευθεία ΒΕ και το σημείο Γ κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο ΒΕΖ. Οι ΓΔ και ΕΖ τέμνονται στο σημείο Η και $ΔΗ=\sqrt 3$.

α) Να αποδείξετε ότι $BE=2\sqrt{7-2\sqrt 3}$.                                                                 

β) Να αποδείξετε το Η είναι το μέσο της ΕΖ.                                                                  

γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται στο εσωτερικό του ισόπλευρου τριγώνου ΒΕΖ και εξωτερικά του τετραγώνου ΑΒΓΔ. 

Να αποδειχθεί ότι το δεδομένο $ΔΗ=\sqrt 3$ είναι περιττό! Με άλλα λόγια, να το αποδείξετε χρησιμοποιώντας τα υπόλοιπα δεδομένα.

Ανισότητα από τις Φιλιππίνες

 Αν $a, b, c$ είναι τρεις θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $ab+bc+ca=3$ τότε να αποδείξετε ότι

• $\dfrac{a}{1+a^2}\leq \dfrac{1}{2}$
• $\dfrac{a^2}{1+a^2}\leq \dfrac{a}{2}$
• $\dfrac{1}{1+a^2}\geq \dfrac{2-a}{2}$
• $\dfrac{1}{1+a^4}\geq \dfrac{2-a^2}{2}$
• $\dfrac{bc}{1+a^4}+\dfrac{ca}{1+b^4}+\dfrac{ab}{1+c^4}\geq 3-\dfrac{abc(a+b+c)}{2}$
• $\dfrac{bc}{1+a^4}+\dfrac{ca}{1+b^4}+\dfrac{ab}{1+c^4}\geq \dfrac{3}{2}$

Αποσύνθεση συναρτήσεων

 Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=e^x$, $g(x)=x^2$, $h(x)=ημx$.

Να γράψετε καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ως σύνθεση των $f, g, h.$ Μπορείτε να τις χρησιμοποιήσετε όσες φορές θέλετε.

• $k(x)=e^{ημ^2 x}$
• $λ(x)=e^{2ημx}$
• $μ(x)=ημ^2 e^x$
• $ν(x)=ημ e^{2x}$
• $ρ(x)=e^{ημx^4}$
• $σ(x)=ημ^4 e^{2x}$
• $τ(x)=x^8$

Με αφορμή την άσκηση 22510 της τράπεζας θεμάτων

Ένα ενδιαφέρον πρόβλημα της τράπεζας θεμάτων είναι το παρακάτω:

Θέμα 22510

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Ο. Θεωρούμε τις διαμέτρους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ. Να αποδείξετε ότι:

α) (ΑΟΒ) = (ΒΟΔ) και (ΑΟΓ) = (ΔΟΓ)                                                    

β) (ΒΔΓ) = (ΑΟΒ) + (ΑΟΓ) – (ΒΟΓ)                                                        

γ) (ΑΖΒΔΓΕ) = 2(ΑΒΓ)                                                                           

Τρία επιπλέον ερωτήματα:

1) Να αποδείξετε ότι $ασυν(Β-Γ)+βσυν(Γ-Α)+γσυν(Α-Β)=\dfrac{4(ΑΒΓ)}{R}$

2) Ισχύει το παραπάνω συμπέρασμα για μη οξυγώνια τρίγωνα;

3) Να αποδείξετε ότι $R\geq 2ρ.$

Υπολογισμός παράστασης που περιέχει τις ρίζες δευτεροβάθμιας εξίσωσης

 Αν $α, β$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης $x^2+x-3=0,$ να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

$$α^3-4β^2+20.$$

Το διήγημα της Αφροδίτης Βιτουλαδίτη που βραβεύτηκε στον διαγωνισμό: 1922-2022 Εκατό χρόνια από την Καταστροφή

 

Κοχλάζουσες μνήμες

Στο προσφυγικό σπίτι, σε μια από τις πιο υποβαθμισμένες γειτονιές του Πειραιά, η κυρία Νιόβη Θεοδωρίδου, μία γυναίκα που το όνομά της δεν θα βρείτε στα βιβλία ιστορίας, στέκει σκυμμένη πάνω από μία κοχλάζουσα κατσαρόλα. Τα χρόνια έχουν βαρύνει στις ωμοπλάτες της και έχουν αναγκάσει τον αδύναμο σκελετό της να γείρει, παραδομένος στις κακουχίες της προσφυγικής ζωής. Εκείνη, όμως, δεν έχει επιτρέψει στις κόρες των ματιών της να χάσουν την λάμψη, την οποία μόνο η ισχυρή θέληση για επιβίωση μπορεί να προσδώσει.

Πριν δεκαπέντε χρόνια, βρέθηκε ανάμεσα στο ενάμισι εκατομμύριο των Ρωμιών Μικρασιατών, οι οποίοι βγήκαν ζωντανοί από την αιμάτινη κόλαση της καταστροφής στην Σμύρνη, μίας πόλης στην οποία η ομαλή συνύπαρξη αιώνων τυλίχτηκε στις φλόγες μέσα σ’ ένα μερόνυχτο. Οι ατμοί που εκλύονται από την κατσαρόλα με τα χόρτα, τα οποία μπόρεσε να προμηθευτεί σήμερα από την τοπική αγορά, θολώνουν την όρασή της και απερίσκεπτα, αφήνουν το μυαλό να παρεκτραπεί σε επικίνδυνες οδούς. Αναμνήσεις μπερδεμένες και τραυματικές, παρουσιάζονται στην εξώπορτα του νου σαν απρόσκλητοι καλεσμένοι, και την παρασέρνουν αποφασιστικά σ’ ένα πληγωμένο παρελθόν, το οποίο προτιμά να κρατά κλειδωμένο στα σεντούκια που άφησε πίσω «στην Σμύρνη της».

Το πολεμικό πλοίο του αγγλικού ναυτικού ορθώνεται τώρα μπροστά της επιβλητικό, προσαραγμένο με τρόπο αδιάφορο στην προβλήτα, χλευάζοντας, θα έλεγες, με την ουδετερότητά του, τον ανθρώπινο πόνο που δεν έχει πλέον εθνικό χρώμα. Φωνές ανδρών, κραυγές γυναικών, κλάματα παιδιών, ανακατεύονται με τον μαύρο καπνό που σήμανε το τέλος της Αρμένικης συνοικίας. Άνθρωποι που γαλουχήθηκαν στα παπλώματα του πολιτισμού και της ειρήνης, κρατούν σφιχτά στο ένα τους χέρι τους αγαπημένους τους, και στο άλλο ό,τι περιουσιακό στοιχείο μπόρεσαν να αδράξουν στη φρενήρη φυγή τους. Εγκατέλειψαν τη θεατρική παράσταση της ζωής τους στη μέση, το φαΐ στο τραπέζι, τα κρυστάλλινα ποτήρια στο ερμάριο, τη σοδειά αθέριστη στα χωράφια, τις φωτογραφίες στις κορνίζες. Οι θεατές μένουν αποσβολωμένοι και οι ηθοποιοί αποχωρούν κυνηγημένοι. Το ραντεβού ανανεώνεται. Η μάταιη ελπίδα της επιστροφής θα παρέμενε ασίγαστη για χρόνια στις καρδιές των διωγμένων.

Η κ. Νιόβη θυμάται πως εκείνη την αποφράδα μέρα, στεκόταν κοντά στην προβλήτα, κρατώντας σφιχτά το τρεμάμενο χέρι του επτάχρονου γιου της, με ένα πουγκί γεμάτο κοσμήματα, στερεωμένο καλά στον κόρφο της, το μόνο που μπόρεσε να πάρει μαζί της, την ώρα που η φωτιά έγλειφε τους τοίχους του πατρικού της. Το αγοράκι κοιτούσε, με μάτια γεμάτα απορία και φόβο, τους καπνούς, κραυγάζοντας συνεχώς το όνομα της μεγάλης του αδελφής: «Αλεξάνδρα! Αλεξάνδρα πού είσαι; Φεύγουμε!»

Δίπλα τους, βρισκόταν μια όμορφη κοπέλα, η οποία αναζητούσε με αγωνία την οικογένειά της, με το ροζ φόρεμά της να ανεμίζει, έρμαιο στις διαθέσεις του δυνατού ανέμου. Η κ. Νιόβη γνώριζε οδυνηρά καλά τη συνέχεια. Όταν ένας αγριωπός, ένστολος Τούρκος σκούντηξε τους απελπισμένους ανθρώπους, περνώντας επιθετικά δίπλα τους, κατευθυνόμενος προς το νεαρό κορίτσι, οι σπαρακτικές φωνές της γυναίκας δεν μπόρεσαν να αποτρέψουν το κακό. Καταπνίχθηκαν από τις οιμωγές του κατάμεστου λιμανιού. Μέσα σε μία τραγική ειρωνεία, ο πόνος είχε μοιραστεί σε ατομικές μερίδες, προσπαθώντας να φανεί δίκαιος μέσα στην αδικία του πολέμου και του αποχωρισμού.

Στα βουβά δάκρυα που ανάβλυζαν δηλητηριασμένα από τα μάτια της κ. Νιόβης, ενστάλαζε η θύμηση του δικού της κοριτσιού. Μόλις πριν από λίγες ώρες, ένας Τούρκος αξιωματικός είχε εισβάλει στο σπίτι τους, και την είχε πάρει μακριά από τη μητρική φωλιά. Η μητέρα είχε ορμήσει ενστικτωδώς προς το μέρος του, όμως, ένα χτύπημα με την κάννη του όπλου του, ήταν αρκετό για να χάσει τις αισθήσεις της και να ξυπνήσει μόνη της, πολύ αργότερα, με τη σκέψη της χαμένης κόρης να της τρυπάει τα σωθικά και να ματώνει την σκέψη της.

Η καρτερική ψυχή της είχε υποστεί, όμως, και άλλους τραυματισμούς. Ο άνδρας της επιστρατεύθηκε από τους πρώτους στα τάγματα εργασίας, και λίγο αργότερα, έπαψε να λαμβάνει νέα του. Άνθρωποι που γνώριζαν τα τεκταινόμενα, ψιθύριζαν, εδώ και καιρό, μεταξύ τους ότι ο τύφος συνάντησε στον διάβα του τον κ. Θεοδωρίδη. Η κ. Νιόβη είναι ρεαλίστρια. Δεν μπορεί να επαναφέρει τον σύζυγό της στην ζωή, δεν μπορεί να σώσει την Αλεξάνδρα της. Δεν δύναται να επηρεάσει τα σχέδια των ισχυρών, οι οποίοι νοσούν από τη μολυσματική ασθένεια της εξουσίας και συζητούν, εκ του ασφαλούς, πάνω σε δρύινα τραπέζια, με ανοιγμένο επάνω τον χάρτη του κόσμου, και παραδίπλα ακουμπισμένα, τον χάρακα και το μολύβι, για να ορίζουν τις ζωές χιλιάδων. Το μόνο που μπορεί η κ. Νιόβη να κάνει, είναι να σώσει τον μοναχογιό της από τις στάχτες. Να προστατέψει τα αθώα παιδικά μάτια από τη φρικαλεότητα για την οποία είναι ικανός ο άνθρωπος, ώστε να αργήσουν να συνειδητοποιήσουν την απώλεια των αγαπημένων, την τραγική τους κατάληξη.

Παραγκωνίζοντας βίαια τους γύρω της, έφτασε στην άκρη της προβλήτας και κοίταξε, με βλέμμα θηρευτικού ζώου, τις προσαραγμένες βάρκες και τα καΐκια. Το παιδί προσπαθούσε με κόπο να συμβαδίσει με τον γοργό βηματισμό της μητέρας του. Τα μάτια του είχαν γεμίσει δάκρυα καθώς η συνειδητοποίηση του αποχωρισμού θέριευε στο παιδικό μυαλό. Η Αλήθεια είναι πολύ ειλικρινής και εγωίστρια για να κρυφτεί.

-Πόσο για να με πας απέναντι;, πρόφερε η κ. Νιόβη, με φωνή βραχνιασμένη από τον καπνό, απευθυνόμενη στον ιδιοκτήτη του πλησιέστερου καϊκιού.

Ο ηλικιωμένος άνδρας την κοίταξε εξεταστικά και τα αλεπουδίσια χαρακτηριστικά του φωτίστηκαν. Μέχρι και σήμερα, θυμάται καθαρά τη λέξη «λίρες» να προφέρεται με ευχαρίστηση, μέσα από τα ξεραμένα από το θαλασσινό αλάτι χείλια του. Θυμάται και τον εαυτό της, να αδειάζει μηχανικά το πουγκί με τα πολύτιμα χρυσαφικά μέσα στην βάρκα, να του παραδίδει όσα νομίσματα πρόλαβε να μαζέψει, πριν ξεσπάσει η φωτιά. Δύο λίρες κράτησε μόνο, χωρίς βέβαια να το αναφέρει στο άπληστο αρπακτικό. Τις είχε τοποθετήσει στο εσωτερικό του φορέματός της, πίσω από τον γιακά, και τις φύλαγε για περίπτωση ανάγκης.

Το ήξερε, βέβαια, ακόμα και εκείνη την στιγμή, ότι ο χαρακτηρισμός «ανάγκη» ήταν ευφημισμός μπροστά σε αυτό που συντελούνταν στο λιμάνι της Σμύρνης. Η καταστροφή ήταν παρόν. Το καΐκι ήταν ασφυχτικά γεμάτο από γυναικόπαιδα. Βαθιά μέσα της, η κ. Νιόβη ένιωθε με απελπιστική σιγουριά, πως αυτά τα νομίσματα θα συνιστούσαν τη μόνη της ανάμνηση από την όμορφη πατρίδα. Η Σμύρνη άδειαζε, η Σμύρνη καιγόταν. Δεν θα έβλεπε ποτέ ξανά το αρχοντικό της οικογένειάς της, ποτέ ξανά δε θα άκουγε τα ελληνικά να ομιλούνται με αυτοπεποίθηση, ανάμεικτα με γέλια και φιλοφρονήσεις, στους ανατολίτικους δρόμους. Ο ελληνισμός, ο οποίος είχε βαθιές ρίζες στην Ανατολή, θα γινόταν στάχτη μέσα σε ένα μερόνυχτο. Το ημερολόγιο στα ευρωπαϊκά γραφεία των ηγετών ήταν ανοιχτό στον Σεπτέμβριο του 1922.

Η κυρία Νιόβη Θεοδωρίδου στριμώχτηκε ανάμεσα στον κόσμο, μέσα στο καΐκι και στράφηκε προς τον γιο της. Το παιδί είχε αρχίσει να τρέμει σύγκορμο και χώθηκε στην αγκαλιά της. «Μαμά, δεν αποχαιρέτησα τον Γιώργο, θα με περιμένει…», ψέλλισε ο μικρός, αναφερόμενος σ’ ένα συνομήλικο αγόρι με το οποίο συνήθιζε να παίζει στην αυλή του σπιτιού. Γνωρίζονταν από τη γέννησή τους. «Νικόλαε, σιωπή», πρόφερε απότομα η κυρία Νιόβη. «Δεν αποχαιρετάς κανέναν. Όλα καλά θα πάνε». Ο Νικόλας έμεινε σιωπηλός, κοιτώντας δακρυσμένος τη μητέρα του, και μετά από λίγο, αποκοιμήθηκε στην αγκαλιά της.

Η κ. Νιόβη έμεινε να κοιτάει ανέκφραστη τις φλόγες που έσβηναν τα χνάρια της προηγούμενης ζωής της, καθώς το καΐκι ανοιγόταν, αγκομαχώντας, στο πέλαγος. Η μονοτονία των κυμάτων ξετύλιξε το νήμα της μνήμης,  οδηγώντας το, ακούσια, στα παιδικά και νεανικά της χρόνια. Η Σμύρνη αποτελούσε πάντα ένα περιβάλλον πολυπολιτισμικό, γεμάτο ζωή, φιλοπρόοδο και ασφαλές. Η ίδια, είχε την τύχη να λάβει σπουδαία μόρφωση, αφού ο πατέρας της, δάσκαλος στην περιοχή, με κύρος και βαθιά αφοσίωση στις ανθρωπιστικές επιστήμες, φρόντισε να της δώσει όλα τα απαραίτητα πνευματικά εφόδια, στέλνοντάς την να μαθητεύσει στο Κεντρικό Παρθεναγωγείο της Σμύρνης.

 Στα δύσκολα χρόνια του ξενιτεμού, τα οποία θα ακολουθούσαν την καταστροφή, η κ. Νιόβη θα ευγνωμονούσε συχνά τον πατέρα της για το δώρο της μόρφωσης που της προσέφερε, και το οποίο της επέτρεψε να ορθοποδήσει. Ως παιδί, έζησε στους κόλπους μίας σχετικά εύπορης οικογένειας. Στα εφηβικά της χρόνια, κατά τις συχνές εξόδους της στην πόλη, κέρδιζε εύκολα τη συμπάθεια των καλοντυμένων νεαρών, αξιοποιώντας τις πολύπλευρες γνώσεις της και τα ακριβά φορέματα, τα οποία της αγόραζε τακτικά ο πατέρας. Πολλές ήταν και οι επισκέψεις στα σπίτια των φιλενάδων της, επισκέψεις που διανθίζονταν πάντα από μακροσκελείς συζητήσεις γύρω από τις τέχνες, την λογοτεχνία και φυσικά, γύρω από τα «νέα της γειτονιάς», όπως αποκαλούσαν χαριτολογώντας μεταξύ τους, την ώρα του «κουτσομπολιού». Πώς να ξεχάσει τις εξόδους τους κάθε Σαββατοκύριακο στο Θέατρο Σμύρνης, το οποίο μάγευε τον επισκέπτη με την κομψή του διακόσμηση και με τα άρτια θεατρικά έργα; Πώς να λησμονήσει τις παραστάσεις των θιάσων, οι οποίοι περνούσαν από την ξακουστή πόλη, παρουσιάζοντας υψηλού επιπέδου θεάματα, όπως έργα του Σαίξπηρ και του Μολιέρου;

Βέβαια, δεν έλειπαν και οι συζητήσεις, ιδιαίτερα ανάμεσα στους πιο σπουδαγμένους,  για τις πολιτικές εξελίξεις, για τους Βαλκανικούς Πολέμους, για την κατάσταση στην Ελλάδα, για τις επιλογές του Βενιζέλου, για τις αντιπαραθέσεις του με τον βασιλιά Κωνσταντίνο, για τη Μεγάλη Ιδέα, για την προέλαση του ελληνικού στρατού στα ενδότερα της Τουρκίας. Μα για τους περισσότερους, η διάχυτη ευτυχία που διέπνεε την πόλη,  έκανε τα πραγματικά γεγονότα να φαντάζουν πλασματικά, με αποτέλεσμα να τα προσεγγίζουν με ενδιαφέρον παθητικό. Θα έλεγες πως παρακολουθούσαν σαν θεατές, μία παράσταση με κορύφωση και εναλλαγές, η οποία τους αποσπούσε για λίγο από τη γλυκιά μονότονη μελωδία της ποιοτικής, ειρηνικής ζωής. Οι φρικαλεότητες του πολέμου και της δυστυχίας που έπλητταν άλλες πόλεις της Ανατολής και έσφιγγαν σταδιακά σαν κλοιός γύρω τους, δεν μπορούσαν να πλησιάσουν στους αρχοντικούς δρόμους της πόλης με τις έντονες μυρωδιές, τόσο από τα καρυκεύματα που πωλούνταν στην αγορά, όσο και από τα αρώματα των γυναικών, οι οποίες αφιέρωναν πολλή ώρα στον εαυτό τους, πριν ξεπορτίσουν από τις αριστοκρατικές κατοικίες τους.

Σε αυτό το προστατευμένο περιβάλλον της Σμύρνης, η κ. Νιόβη έφερε στον κόσμο την κόρη της, την Αλεξάνδρα, η οποία μεγάλωσε ευτυχισμένη μέσα στην κοιτίδα του πολιτισμού. Η μητέρα θυμάται χαρακτηριστικά τη μικρή, πριν ακόμα πάει σχολείο, με τις μακριές πλεξούδες και τα λαμπερά, γεμάτα περιέργεια μάτια, καθώς έτρεχε ελεύθερη στους πλατιούς δρόμους της Σμύρνης, φωνάζοντας και γελώντας.

-Μαμά κοίτα τι μου πήρε ο μπαμπάς, έλεγε ενθουσιασμένη, προτάσσοντας το χεράκι της, στο οποίο βαστούσε σφιχτά μια πάνινη κούκλα.

-Είναι πανέμορφη Αλεξάνδρα μου, ακούει σαν όνειρο, τον νεαρότερο εαυτό της να απαντάει.

Η ανάμνηση του κοριτσιού διαλύεται και αντικαθίσταται από το καλοσχηματισμένο πρόσωπο ενός άνδρα στο άνθος της νιότης. Είναι το πρόσωπο του συζύγου της τη μέρα του γάμου τους. Αγάπη και ασφάλεια, αυτό ένιωθε όταν τον κοίταζε. Τίποτα δεν μπορούσε να τους αγγίξει όσο του κρατούσε το χέρι. Τίποτα δεν μπορούσε να τους βλάψει στη ζωή που θα έκτιζαν μαζί.

Η κ. Νιόβη άνοιξε απότομα τα μάτια της. Ο ήλιος την τύφλωνε, ο Νικόλας κοιμόταν στα πόδια της. Πόσες μέρες είχαν περάσει από όταν εγκατέλειψαν τη Σμύρνη; Σίγουρα κάποια στιγμή προσάραξαν στη Μυτιλήνη, αλλά ο λιμενάρχης τους είπε ότι θα έπρεπε να κατευθυνθούν προς τον Πειραιά. Οι αισθήσεις της ήταν μουδιασμένες, θολωμένες από την υγρασία και την πείνα, σαν να προσπαθούσαν και αυτές να προσδιορίσουν την ταυτότητά τους, τον ρόλο τους στη νέα πραγματικότητα.

Στον ορίζοντα, αχνοφαινόταν ένα κομμάτι στεριάς. Σιγά σιγά, οι καταπονημένοι Σμυρνιοί άρχισαν να αναδεύονται και να σκουντάνε ο ένας τον άλλον, καθώς η πολυπόθητη λέξη «Πειραιάς» διαδιδόταν με αναστατωμένους ψιθύρους μεταξύ τους, ώσπου τελικά, όλοι κοιτούσαν με προσδοκία, στην κατεύθυνση των πρώτων κατοικιών, οι οποίες διαγράφονταν με φόντο τον κόκκινο ουρανό της αυγής. Στη Μητέρα Ελλάδα, θα δημιουργούσαν μία νέα ζωή από τα θεμέλια, και θα λάμβαναν τη φορεσιά της προσφυγιάς, άβολη και άγνωρη για ανθρώπους νοικοκυραίους, οι οποίοι είχαν συνηθίσει να ντύνονται με πολυτελή υφάσματα.  

Η κ. Νιόβη από την πλευρά της, συνήθισε γρήγορα τη δική της «ενδυμασία». Τη διαχειριζόταν με αξιοπρέπεια, χωρίς να χάσει την αριστοκρατικότητα και την παιδεία που έφερε από την αγαπημένη της πατρίδα. Εκτίμησε, ωστόσο, τα κουρέλια, γιατί της επέτρεψαν να δεχθεί την «ιδιωτική φιλανθρωπία», όπως έλεγε η ίδια , διστάζοντας να χαρακτηρίσει τις πράξεις της με τον όρο «επαιτεία». Εξάλλου είχε ένα παιδί που έπρεπε να αναθρέψει.

Αποκούμπι για αυτούς, δεν υπήρχε στην Ελλάδα. Η μισή της οικογένεια είχε χαθεί στην καταστροφή, και όσοι μακρινοί συγγενείς ακουγόταν ότι επιβίωσαν, είχαν διασκορπιστεί σε διαφορετικές περιοχές της χώρας, στα νησιά και στην Θεσσαλονίκη. Κάποιοι είχαν προσπαθήσει να φύγουν και εκτός Ελλάδας. Η περιουσία τους πίσω στην Σμύρνη έγινε στάχτη, και ό,τι απέμεινε, πέρασε αβασάνιστα στην κατοχή των Τούρκων, μετά τον «καθαρμό» των υπόλοιπων εθνοτήτων. Τουλάχιστον αυτή ήταν η ενημέρωση που είχαν, από ανθρώπους οι οποίοι γνώριζαν.

Ο μικρός της μεγάλωνε με στερήσεις, αντιμετωπίζοντας θαρρετά, παρά το τρυφερό της ηλικίας του, τον φόβο και την περιφρόνηση που έδειξαν πολλοί Έλληνες προς τους βιαίως ξενιτεμένους Σμυρνιούς. Παρά τις αντικειμενικές δυσκολίες, δεν έπαψε να χαμογελά και να αντλεί δύναμη, όπως και η μητέρα του, από ανθρώπους που στις δύσκολες στιγμές, έδειξαν καλοσύνη, αλληλεγγύη  και συνέδραμαν ουσιαστικά στη νέα ζωή που προσπαθούσαν να οικοδομήσουν.

Όταν εγκαταστάθηκαν, λίγους μήνες μετά την άφιξή τους, στην περιοχή της Κοκκινιάς, κατάφερε επιτέλους και το αγόρι να πάει στο σχολείο της περιοχής. Ο Νικόλας αγαπούσε πάρα πολύ τα γράμματα. Η κ. Νιόβη στην αρχή ξενοδούλευε, μα έπειτα, χάρη στη μόρφωσή της, κατάφερε να βρει δουλειά ως γραμματέας σ’ ένα δικηγορικό γραφείο στον Πειραιά. Έβγαζε τα απαραίτητα για να διάγουν μία λιτή ζωή, απαλλαγμένη από οποιαδήποτε σπατάλη.

Στο σχολείο, ο Νικόλας άρχισε να δημιουργεί φιλίες, να κάνει και πάλι όνειρα, να μετατρέπει τον πόνο και την απώλεια σε δύναμη και δημιουργία. Μία καλοκαιρινή μέρα, το αγόρι που είχε πάρει πλέον εφηβική μορφή, μπήκε στο φτωχικό προσφυγικό σπίτι, κρατώντας ένα βιβλίο ιστορίας. Πλησίασε διστακτικά τη μητέρα του, ακουμπώντας την στον ώμο.

-Μητέρα, θέλω να σπουδάσω όπως όλη μας η οικογένεια. Θέλω να γίνω δικηγόρος. Θέλω να δώσω στις εισαγωγικές εξετάσεις σε τρία χρόνια.

Η κ. Νιόβη κοίταξε το νεανικό πρόσωπο του γιου της, την οξυδερκή ματιά του, γεμάτη επιθυμία αλλά και σύνεση, και χαμογέλασε μετά από πολύ, πολύ καιρό.

-Να σπουδάσεις αγόρι μου. Εγώ θα σε στηρίξω όπως μπορώ.

Ο Νικόλας χώθηκε στην αγκαλιά της, όπως και τότε, σε εκείνο το καΐκι, πριν τόσα χρόνια.

-Ευχαριστώ, ψιθύρισε.

Σήμερα, η κ. Νιόβη βιάζεται. Βιάζεται να πάει στην ορκωμοσία του, στην Νομική Σχολή Αθηνών. Πρέπει να τελειώσει γρήγορα με το μαγείρεμα, για να είναι έτοιμη όταν έρθει ο Νικόλας της. Θα βάλει το ταγέρ και την φούστα που αγόρασε πριν δύο χρόνια για τις σπάνιες, επίσημες περιστάσεις. Τα χόρτα έχουν βράσει πια. Η μητέρα τοποθετεί προσεκτικά το καπάκι πάνω στην κατσαρόλα και πηγαίνει στο φτωχικό υπνοδωμάτιο.

Βγαίνοντας περιποιημένη στην εξώπορτα, βλέπει τον γιο της, να την περιμένει στο κατώφλι του ισόγειου σπιτιού με έκδηλη ανυπομονησία.  Έχει επιβλητικό, περήφανο παράστημα. Την κοιτάζει βουρκωμένος:

-Μητέρα είχες δίκιο. Το πνεύμα είναι ανυπότακτο. Μπορεί να χάσουμε τα πάντα, την περιουσία μας, τη γη μας, το σπίτι μας, μα κανείς δεν μπορεί να μας πάρει την ανθρωπιά μας και την πνευματική καλλιέργεια. Κανείς δεν μπορεί να τα σφετεριστεί αυτά.

Η κ. Νιόβη τον πλησιάζει και του σφίγγει τα χέρια. Κοιτώντας τα βαθυστόχαστα νεανικά μάτια του γιου της, χρωματισμένα με ελπίδα και σχέδια, νιώθει, άξαφνα, δυνατή όπως παλιά.

-Αγόρι μου, η ζωή έχει τον τρόπο της να κερδίζει τον θάνατο. Κάθε νέα αρχή θέλει θάρρος. Μα εμπιστεύσου το πέρας του χρόνου. Πάντα αναδεικνύει τους επιμένοντες νικητές.

Βιτουλαδίτη Αφροδίτη

100 άνθρωποι βαδίζουν είτε προς τα πάνω είτε προς τα δεξιά

 100 άνθρωποι βαδίζουν στους δρόμους του παρακάτω χάρτη από το σημείο Α στο Β. Επιτρέπεται να κινούνται είτε προς τα πάνω είτε προς τα δεξιά. Οι σημειωμένοι αριθμοί δείχνουν πόσοι άνθρωποι πέρασαν από τα αντίστοιχα σημεία. Πόσοι άνθρωποι πέρασαν από το σημείο με το ερωτηματικό;

Άθροισμα κυβικών ριζών που είναι τελικά ακέραιος

 Να αποδείξετε ότι ο αριθμός

$$\sqrt[3]{25-10\sqrt{5}}+\sqrt[3]{25+10\sqrt{5}}$$

είναι ακέραιος.

Τραπέζια σε σχήμα τραπεζίου σχηματίζουν κλειστό δακτύλιο

Σε ένα μεγάλο δωμάτιο υπάρχουν πολλά ίδια τραπέζια σχήματος ισοσκελούς τραπεζίου. Οι γωνίες της μικρής βάσης του είναι 99°. O Παναγιώτης θέλει να διατάξει κάποια από αυτά τα τραπέζια έτσι ώστε δύο διαδοχικά τραπέζια να έχουν κοινή μία από τις μη παράλληλες πλευρές τους. Πόσα τραπέζια θα χρειαστεί για να φτιάξει ένα κλειστό δακτύλιο;

Άθροισμα κλασμάτων

 Υπολογίστε το άθροισμα

$$\dfrac{1\cdot 3}{3\cdot 5}+\dfrac{2\cdot 4}{5\cdot 7}+\dfrac{3\cdot 5}{7\cdot 9}+\dfrac{4\cdot 6}{9\cdot 11}+...+\dfrac{1009\cdot 1011}{2019\cdot 2021}$$

Αναλογία

 Αν $x, y, z$ είναι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί ώστε $\dfrac{x+y}{z}=\dfrac{y+z}{x}=\dfrac{z+x}{y}$ τότε να βρείτε τις δυνατές τιμές της παράστασης

$$\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}.$$

Ο Παναγιώτης και οι 4 αριθμοί που σκέφτηκε

 Ο Παναγιώτης σκέφτεται 4 αριθμούς. Τους προσθέτει ανά δύο και βρίσκει τα αθροίσματα $9, 18, 21, 23, 26, 35.$ Ποιους αριθμούς σκέφτηκε;

Βελάκια

Πόσες φορές και ποιους δακτυλίους του παρακάτω στόχου πρέπει να χτυπήσουμε για πετύχουμε ακριβώς 100 πόντους;

Ένα μέγιστο με ρίζες και απόλυτα

 Έστω $x,\,y,\,z\in [0,\,1]$. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του αθροίσματος 

$$\sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}+\sqrt{|z-x|}.$$

Πέντε διαφορές δίνουν μία έκτη!

 Έστω πολυώνυμο 6ου βαθμού, για το οποίο ισχύουν 

$$f(7) − f(1) = 1$$ 

$$f(8) − f(2) = 16$$ 

$$f(9) − f(3) = 81$$ 

$$f(10) − f(4) = 256$$   και                               

$$f(11) − f(5) = 625$$.

Να υπολογιστεί η διαφορά  $f(15) − f(−3)$.

Τρία πολυώνυμα

 Έστω 

$P_1(x)=ax^2-bx-c$

$P_2(x)=bx^2-cx-a$

$P_3(x)=cx^2-ax-b$ 

τρία πολυώνυμα όπου οι $a,\,b$ και $c$ είναι πραγματικοί αριθμοί. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός $k$ έτσι ώστε $P_1(k)=P_2(k)=P_3(k)$. Να αποδείξετε ότι $a=b=c$.

Μια άσκηση του Νικολάου Κίτσου

 Σε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε $\widehat{B}=110^o.$ Έστω Κ, Λ σημεία της πλευράς ΑΓ ώστε $\widehat{ABK}=\widehat{ΓΒΛ}=40^ο$ και ΑΔ, ΓΕ διχοτόμοι του. Αν Θ το σημείο τομής των ΚΔ, ΛΕ τότε να υπολογισθεί η γωνία $\widehat{ΚΘΛ}.$

Ελάχιστη τιμή παράστασης

 Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης 

$$\sqrt{x^2-7\sqrt2 x+49}+\sqrt{x^2-\sqrt2 xy+y^2}+\sqrt{y^2-10y+50}$$                                                                                        όπου $x,y$ θετικοί αριθμοί.

Τετράγωνο μέσα σε πεντάγωνο

 Στο παρακάτω σχήμα βλέπετε ένα τετράγωνο μέσα σε ένα κανονικό πεντάγωνο. Βρείτε τη γωνία ∠α.

Η αξία των μέσων σε προβλήματα εμβαδών

 Το Ε είναι το μέσο της πλευράς ΒC του τετραπλεύρου ABCD και F το μέσο της πλευράς AD.  Το εμβαδόν του τριγώνου ABG είναι 9 και το εμβαδόν του EGFH είναι 21. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου CDH.

Μήκος τμήματος σε παραλληλόγραμμο

 

Τμήμα σε ορθογώνιο με εξωτερικό σημείο

 

Γωνία σε σχήμα με τρίγωνο με δύο πλευρές του διαμέτρους κύκλων

 

Υπολογισμός απόστασης πλευρών παραλληλογράμμου

 

Εκθετική εξίσωση με δύο αγνώστους

 Να λυθεί η εξίσωση $16^{x^2+y}+16^{y^2+x}=1$.

Υπολογισμός γωνίας σε τρίγωνο με διάμεσο

 

Ύψος σε ισοσκελές τρίγωνο

Ορθογώνιο τρίγωνο και ισόπλευρο

 

Τμήμα σε παραλληλόγραμμο

 

Ερωτήσεις κατανόησης στη διαίρεση πολυωνύμων

 

Ασκήσεις στα πολυώνυμα (17η έως 19η)

        (17η)

Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού, το οποίο διαιρείται με το πολυώνυμο $x^2+ 1$, έχει ρίζα το 0 και του οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2.

α. Να αποδείξετε ότι $P(x)=x^3+x.$

β. Να λύσετε την ανίσωση: $\displaystyle{(P(x)-2)^3+(P(x)-2)^2+P(x)>2.}$

       (18η)

Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)=x^4-8x^3+(5\alpha-1)x^2+8x-3\alpha-6,$ όπου $\alpha \in \mathbb R.$

α. Να κάνετε τη διαίρεση του $P(x)$ διά του $x^2-1$ και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα.

β. Να βρείτε την τιμή του $\alpha$ ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια.

γ. Για $\alpha=3,$ να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης $P(x)=0$ καθώς και τα διαστήματα στα

   οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης $P(x)$ είναι κάτω από τον

   άξονα $x'x$.

        (19η)

Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)=kx^3-(k+\lambda)x^2+\lambda x+1.$

α. Αν $P(-\dfrac{1}{2})=7$ και $P(-1)=23,$ να αποδείξετε ότι $k=-6$ και $\lambda=-5.$

β. Να γίνει η διαίρεση του $P(x),$ για $k=-6$ και $\lambda=-5,$ με το πολυώνυμο $2x+1$

    και να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης αυτής.

γ. Να λυθεί η ανίσωση $P(x)>7$ για $k=-6$ και $\lambda=-5.$

 

Ασκήσεις στα πολυώνυμα (11η έως 16η)

 

Ασκήσεις στα πολυώνυμα (4η έως 10η)

 

Tρεις ασκήσεις στα πολυώνυμα

 

Κλασματική εξίσωση με σύντομη λύση

Να λύσετε την εξίσωση 

$\dfrac{x-10}{x-2}+\dfrac{x-9}{x-3}+\dfrac{x-8}{x-4}+\dfrac{x-7}{x-5}=-4.$ 

Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση;

 Έστω $α,β,γ$ τρεις διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί. Βρείτε πόσες λύσεις έχει η εξίσωση 

$\alpha ^2\dfrac{(x-\beta )(x-\gamma )}{(\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )}+\beta ^2\dfrac{(x-\alpha )(x-\gamma )}{(\beta -\alpha )(\beta -\gamma )} +\gamma ^2\dfrac{(x-\alpha )(x-\beta )}{(\gamma -\alpha )(\gamma -\beta )}-x^2=0.$

Υπόλοιπο διαίρεσης πολυωνύμων

 Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $x^{2020}-x$ με το $x^2-1;$

Τέλεια διαίρεση πολυωνύμων

18243

 

18547

 

18520

 

16428

 

16426

 

16144

 

16141

 

15825

 

15658

 

15038

 

14953

 

14586

 

17077

 

17076

 

22557

 

17070

 

19038

 

16151

 

16147

 

15002

 

14666

 

21165

 

Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο, διάμεσος και διχοτόμος

 Έστω $ΑΒΓ$ ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με $ΑΒ=ΑΓ$. Η διάμεσός του $ΑΜ$ και η διχοτόμος του $ΒΔ$ τέμνονται στο $Ε$. Να αποδειχθεί ότι $ΔΓ=2ΕΜ$.

Ισοσκελές τρίγωνο, κατάλληλες προεκτάσεις των πλευρών του που οδηγούν σε νέο ισοσκελές και ένα μέσο

 Έστω ισοσκελές τρίγωνο $ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ)$, $Η$ το μέσο της $ΒΓ$. Στην προέκταση της $ΒΓ$ προς το $Γ$ παίρνουμε τμήμα $ΓΔ=ΑΓ$ και στην προέκταση της $ΑΒ$ προς το $Β$ παίρνουμε τμήμα $ΒΕ=ΒΗ$. Αν η $ΕH$ τέμνει την $ΑΔ$ στο $Ζ$, δείξτε ότι:

α) $\widehat{ΑΔΒ}=\dfrac{\widehat{ΑΒΓ}}{2}$

β) το τρίγωνο $ΖΗΔ$ είναι ισοσκελές

γ) το $Ζ$ είναι το μέσο του $ΑΔ$

Υπολογισμός γωνίας σε ισοσκελές τρίγωνο με γωνία κορυφής μεγαλύτερη των 30 μοιρών

 Δίνεται ένα ισοσκελές τρίγωνο $ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ)$ όπου $\widehat A >30^o$. Στην πλευρά $ΒΓ$ παίρνουμε σημείο $Δ$ ώστε $\widehat{ΒΑΔ}=30^ο$.

α) Να αποδείξετε ότι $ΑΓ>ΑΔ$.

β) Πάνω στην $ΑΓ$ παίρνουμε τμήμα $ΑΕ=ΑΔ$. Βρείτε τη γωνία $\widehat{ΕΔΓ}$.