H Άλγεβρα στην υπηρεσία της Γεωμετρίας!

 Τα εμβαδά των τεσσάρων μικρών ορθογωνίων και του κεντρικού τετραγώνου φαίνονται στο σχήμα. Βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου $ABCD.$

Πρόβλημα από την Σιγκαπούρη!

 Αν $m,n$ είναι δύο διαφορετικοί αριθμοί ώστε

                              $m^2=n+2$ και $n^2=m+2$ 

τότε να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης 

                                     $4mn-m^3-n^3.$

Υπολογίστε το ριζικό με τη βοήθεια της Άλγεβρας!

 Υπολογίστε την αριθμητική τιμή της παράστασης $\sqrt{\dfrac{2023^3-2021^3-2}{6}}.$

Υπολογίστε την τιμή του κλάσματος!

Αν  $\dfrac{x-y}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ τότε να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{x}{y}.$

Βρείτε το κόκκινο εμβαδόν

 

Τέσσερα ημικύκλια και ένα τετράγωνο!

 Σε τετράγωνο με πλευρά $4$ σχεδιάζουμε τις διαγωνίους του και κατόπιν κατασκευάζουμε τέσσερα ίσα ημικύκλια όπως στο σχήμα. Υπολογίστε το γαλάζιο εμβαδόν!

Βρείτε το εμβαδόν του πράσινου ορθογωνίου

 Το $ABCD$ είναι τετράγωνο. Βρείτε το εμβαδόν του πράσινου ορθογωνίου. 

Διαγωνίσματα προσομοίωσης για το σχολικό έτος 2021-22

 Διαγώνισμα προσομοίωσης από Περιστέρι

Διαγώνισμα στα όρια από Αρσάκειο

Διαγώνισμα από Γιαννιτσά

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης

Υπάρχει άραγε μια συλλογή $2021$ διαφορετικών θετικών ακέραιων, που έχουν την παρακάτω ιδιότητα: αν διαλέξουμε από αυτή οποιοδήποτε αριθμό $a$, οι υπόλοιποι $2020$ αριθμοί μπορούν να χωρισθούν σε ζεύγη έτσι, ώστε ο $a$ να διαιρείται με την διαφορά των αριθμών κάθε ζεύγους;

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης

Θέματα 8ης τάξης για την 2η φάση, 16 Φεβρουαρίου 2021.

Ρητοποίηση παρονομαστή

 Να ρητοποιήσετε τον παρανομαστή του κλάσματος 

         $\dfrac{1}{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1}.$

Μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση (1)

 

Επαναληπτική άσκηση στα όρια (1)

 

Επαναληπτική άσκηση στα όρια (2)

Μέχρι και την συνέχεια

 Έστω συνάρτηση $f:\mathbb R\to \mathbb R$ συνεχής και γνησίως μονότονη με $f(\mathbb R)=\mathbb R,$ η οποία διέρχεται από το σημείο $A(1,2)$ και $\displaystyle{\lim_{x\to 3}\dfrac{(x-3)f(x)-\cos(x-3)+1}{\sqrt{x+1}-2}=16.}$

Έστω συνάρτηση $g:\mathbb R\to \mathbb R$ συνεχής $g(0)=-2$ $g^2(x)-2x^2g(x)=4-x^4,x\in \mathbb R.$

α) Να δείξετε ότι $f(3)=4$ και ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα και αντιστρέψιμη.

β) Να δείξετε ότι $g(x)=x^2-2,x\in \mathbb R.$

γ) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τη γραφική παράσταση της $g$ σε ένα τουλάχιστον σημείο.

δ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_0\in (1,3)$ τέτοιο ώστε $6f(x_0)=f(1)+2f(2)+3f(3).$

ε) Να λύσετε την εξίσωση $f(e^{x-3}+\dfrac{1}{3}x^3-7)=f^{-1}(4)+f^{-1}(2).$ 

 Του Αβραάμ Τσακμακίδη  (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 

Μέχρι και τον ορισμό της παραγώγου

 Έστω $f,g$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο $x_0=2,$  με $f(2)=g(2)+8$ και ισχύει $f(x)<g(x)+x^3$ για κάθε  $x\ne 2.$

i) Να δείξετε ότι $f'(2)=g'(2)+12.$

ii) Αν επιπλέον 

$g(x)=\begin{cases}x^2, & x \leq 2\\αx+ β, & x > 2\end{cases}$

α) Να βρείτε τα $α,β.$

β) Να βρεθούν  οι $g'(2)$ και $f'(2).$

γ) Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\lim_{h\to 0}\dfrac{f(2+3h)-f(2-h)}{h}.}$

δ) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\lim_{h\to 0}\dfrac{f^2(2-5h)-f^2(2)}{h}=-1920.}$

ε) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}x[g\left(\dfrac{2x+1}{x}\right)-g(2)]=4.}$

Του Αβραάμ Τσακμακίδη  (3ο Λύκειο Γιαννιτσών)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 8 ΙΟΥΛΙΟΥ 2010 ΘΕΜΑ Β

 

Δίνεται η συνάρτηση $f: [α, β]\to\mathbb R,$ όπου $α,β\in\mathbb R$ με $α<0<β,$ η οποία είναι συνεχής στο $[α, β]$ και παραγωγίσιμη στο $(α, β).$

Αν ισχύει $f(α)=5β$ και $f(β)=5α,$ να αποδείξετε ότι:

B1. Η εξίσωση $f(x)=0$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(α, β).$

Μονάδες 10

B2. Υπάρχει σημείο $Μ(ξ,f(ξ))$ της γραφικής παράστασης C_f της $f,$ στο οποίο η εφαπτομένη  της C_f  είναι κάθετη στην ευθεία ε: x–5y+2010=0.

Μονάδες 10

B3. Η συνάρτηση f παίρνει την τιμή $\dfrac{5}{2}(α+β).$

Μονάδες 5

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 8 ΙΟΥΛΙΟΥ 2010 ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = (x+3)\sqrt{9-x^2}.$

Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Μονάδες 4

Δ2. Να βρείτε την παράγωγο της $f$

α. στο ανοικτό διάστημα $(-3,3)$ (Μονάδες 3)

β. στο σημείο $x_0=-3.$ (Μονάδες 3)

Μονάδες 6

Δ3. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της $f.$

Μονάδες 9

Δ4. Να βρείτε τα ακρότατα της $f.$

Μονάδες 6

 

Κοινές ακέραιες λύσεις

 α) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων 

$\boxed{4\left(x-250 \right)\leq 5\left(x+201 \right)+8}$ και $\boxed{\dfrac{12x-40}{3}<4x+20-\dfrac{x-15}{60}}$

β) Πόσες είναι οι κοινές ακέραιες λύσεις τους; Να υπολογίσετε επίσης το άθροισμα και το γινόμενο όλων αυτών των κοινών ακέραιων λύσεων.

Ύπαρξη ρίζας (1)

 Δίνεται  συνεχής  συνάρτηση   $f:(0, + \infty) \to \mathbb {R}$ 

   για  την  οποία  ισχύουν $f(x) > 0$   για  κάθε  $x > 0$   και   $f\left( {\dfrac{α}{β}} \right) \cdot f\left( {\dfrac{β}{γ}} \right) \cdot f\left( {\dfrac{γ}{α}} \right) = 1$  όπου  $0 < α < β < γ.$  

Να  δείξετε  ότι  υπάρχει  $ξ > 0$  τέτοιο  ώστε   $\displaystyle{f(\xi ) = \xi ^{2020}}.$

Συνεχής $f$ με ιδιότητα $f(x)>f(x+3)$ για κάθε $x \in \mathbb R$

 Η συνάρτηση $f:\mathbb R \to \mathbb R$ είναι συνεχής στο $\mathbb R.$ Αν $f(0)=f(4)=0$ και $f(x)>f(x+3)$ για κάθε $x \in \mathbb R$ να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi  \in \left( {1,3} \right)$ τέτοιο ώστε $f(ξ)=0.$

Πολυωνυμική εξίσωση τρίτου βαθμού έχει ρίζα στο διάστημα (0,2)

 Έστω οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$ με $3a+2b+3c=0$ . Να δείξετε ότι η εξίσωση $ax^{3}+bx+c=0$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα $(0,2).$

Υπόδειξη Προσπαθήστε να βρείτε έναν γραμμικό συνδυασμό των αριθμών $f(0),f(\dfrac{1}{2}),f(\dfrac{3}{2})$ ίσο με το $0.$ Μετά απαγωγή σε άτοπο.

Επαναληπτική άσκηση μέχρι τη συνέχεια (1)

 Θεωρούμε συνάρτηση $f $ συνεχή και γνησίως μονότονη στο $\mathbb {R}$ με : $6f(1)+4f(4)-13=f^2(1)+f^2(4)$.

i) Να βρείτε τα $f(1) , f(4)$ και να δείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα.

ii) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_o\in (1,4)$ τέτοιο ώστε $\dfrac{f(x_o)}{x_o}=2.$

iii) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_1\in (1,4)$ τέτοιο ώστε $2f(2)+3f(3)+5f(\dfrac{5}{2})= 10f(x_1)$.

iv) Αν η συνάρτηση $f$ έχει σύνολο τιμών το $\mathbb R,$ να λύσετε την ανίσωση $f^{-1}(f(x^3-3x+3)-1)>4$.

Βάλτε στη σειρά τις δυνάμεις και τις ρίζες

 Αν $0<α<1$ και $β>1$ να αποδείξετε ότι:

$1)$  $1>α>α^2>α^3>α^4>...>0$

$2)$  $1<β<β^2<β^3<β^4<...$

$3)$  $0<α<\sqrt{α}<\sqrt[3]{α}<\sqrt[4]{α}<\sqrt[5]{α}<...<1$

$4)$  $β>\sqrt{β}>\sqrt[3]{β}>\sqrt[4]{β}>\sqrt[5]{β}>...>1$

Μπορείτε να βρείτε το κόκκινο εμβαδόν;

 Το $ABCD$ του παρακάτω σχήματος είναι παραλληλόγραμμο. Γνωρίζουμε τα εμβαδά των κίτρινων περιοχών. Μπορείτε να βρείτε το εμβαδόν της κόκκινης περιοχής;

Εγγεγραμμένοι κύκλοι

 

Βρείτε το άγνωστο εμβαδόν!

 Στο παρακάτω oρθογώνιο βρείτε το εμβαδόν που λείπει.

Κροατικό εμβαδόν!

 Μπορείτε να βρείτε το άγνωστο εμβαδόν;

Ευθύγραμμο τμήμα με ακέραιο μήκος

 

Γνωρίζουμε ότι το μήκος της διαγωνίου $BD$ είναι ακέραιος αριθμός.

Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου $BD.$ 

Αναλογία που οδηγεί σε ανισότητα

 Αν $α,β,γ,δ$ θετικοί αριθμοί και $\dfrac{α}{β}=\dfrac{β}{γ}=\dfrac{γ}{δ},$ να αποδείξετε ότι:

                                 $|α-δ|\ge 3|β-γ|.$

Σύγκριση άρρητων αριθμών (Ι)

 Να συγκρίνετε τους αριθμούς:

$α)$ $\sqrt 7$ και $\sqrt 5 +\sqrt 2$

$β)$ $1-\sqrt 2$ και $\sqrt 2-\sqrt 3$

$γ)$ $\sqrt [3]{3}$ και $\sqrt 2$

$δ)$ $\sqrt 3+\sqrt {2}$ και $\sqrt 6+1$

$ε)$ $\sqrt{5+2\sqrt {6}}$ και $\sqrt 3+\sqrt 2$

Σύγκριση άρρητων αριθμών (II)

 Να συγκρίνετε τους αριθμούς:

$α)$ $\sqrt 3+\sqrt 6$ και $\sqrt 2+\sqrt 7$

$β)$ $\sqrt 6-\sqrt 3$ και $3-\sqrt 2$

$γ)$ $\sqrt 5-2$ και $\sqrt {10}-\sqrt 2$

$δ)$ $1-\sqrt 2+\sqrt 3$ και $\sqrt 2-\sqrt 3+\sqrt 5$

Τέσσερα τετράγωνα και ένα παραλληλόγραμμο

 

Άθροισμα των $x_i$ και $y_i$ ίσο με $0$

  Αν 

$x_1+x_2+x_3=0,$ όχι όλοι τους μηδέν,

$y_1+y_2+y_3=0,$ όχι όλοι τους μηδέν και

$x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3=0,$ αποδείξτε ότι:

\[ \frac{x_1^2}{x_1^2+x_2^2+x_3^2}+\frac{y_1^2}{y_1^2+y_2^2+y_3^2}=\frac{2}{3}\]

Ακέραιες λύσεις

Βρείτε τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

\[1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = y^4.\]

Πολλαπλάσιο του 343

Αποδείξτε ότι ο αριθμός $2^{147} - 1$ είναι πολλαπλάσιο του $343.$

Είναι ρητός ή άρρητος;

Ο αριθμός

\[\sqrt[3]{\sqrt 5 + 2} + \sqrt[3]{\sqrt 5 - 2}\]

είναι ρητός ή άρρητος;

Για ποιες τιμές της παραμέτρου το σύστημα έχει το πολύ μία πραγματική λύση;

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $a$ για τις οποίες το σύστημα των εξισώσεων

\[x^4 = yz - x^2 + a,\]

\[y^4 = zx - y^2 + a,\]

\[z^4 = xy - z^2 + a,\]

έχει το πολύ μία πραγματική λύση.

Υπάρχουν τέτοιες εξισώσεις;

 Εξετάστε αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $a, b, c, t$ για τους οποίους:

$(i)$ η εξίσωση $ax^2 + btx + c = 0$ έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες $x_1, x_2,$

$(ii)$ η εξίσωση $bx^2 + ctx + a = 0$ έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες $x_2, x_3,$

$(iii)$ η εξίσωση $cx^2 + atx + b = 0$ έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες $x_3, x_1.$

Ανισότητα (16)

Αποδείξτε ότι

\[ \frac{a_1+ a_3}{a_1 + a_2} + \frac{a_2 + a_4}{a_2 + a_3} + \frac{a_3 + a_1}{a_3 + a_4} + \frac{a_4 + a_2}{a_4 + a_1} \geq 4, \]

where $a_1,a_ 2,a_ 3,a_ 4>0.$

Εύκολο Παραμετρικό Σύστημα

 Λύστε το παρακάτω σύστημα εξισώσεων με αγνώστους τους $x,y$, όπου $a,b\in\mathbb{R}$ και $a\neq 0$.

\[x^2 + xy = a^2 + ab\] \[y^2 + xy = a^2 - ab\]

Ένα τουλάχιστον εμβαδόν είναι μικρότερο ή ίσο του ενός τετάρτου του συνολικού

 Έστω τρίγωνο $ABC$ και $ P$, $ Q$, $ R$ τρία εσωτερικά σημεία των πλευρών του $ BC$, $ CA$, $ AB$ αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι το εμβαδόν τουλάχιστον ενός από τα τρία τρίγωνα $ AQR$, $ BRP$, $ CPQ$ είναι μικρότερο ή ίσο από το ένα τέταρτο του εμβαδού του τριγώνου $ ABC$.

Ανισότητα (15)

 Δίνονται $ν$ θετικοί αριθμοί $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{ν}$ τέτοιοι ώστε $a_{1}\cdot a_{2}\cdot ...\cdot a_{ν}=1.$ Αποδείξτε ότι \[ \left( 1+a_{1}\right) \left( 1+a_{2}\right) ...\left(1+a_{ν}\right) \geq 2^{n}.\]

Ανισότητα (14)

 Αποδείξτε ότι $\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}\le \dfrac{a+b+c}{2}$, όπου $a,b,c \in (0,+\infty).$

Ελάχιστο παράστασης

 Αν $ 0<a<b<c$ να βρεθει το ελάχιστο της παράστασης 

$ \dfrac{4(c^3-a^3)+27(a^2b-c^2b)+24(cb^2-ab^2)}{6b^3}.$

πρόβλημα του Χρήστου Πατήλα

$ 9^x-3^x=y^4+2y^3+y^2+2y$

 Να βρείτε τις μη αρνητικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:

                      $ 9^x-3^x=y^4+2y^3+y^2+2y.$

Χρωματισμός σημείων (1)

 Χρωματίζουμε όλα τα σημεία του επιπέδου κόκκινα ή μπλε. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με κορυφές του ίδιου χρώματος.

Χρωματισμός ακεραίων

 Χρωματίζουμε όλους τους ακέραιους κόκκινους ή μπλε. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τρεις διαφορετικοί ακέραιοι $α<β<γ$ με το ίδιο χρώμα ώστε ο $β$ να είναι ο μέσος όρος των $α,γ.$

''Καλά'' σύνολα

 Ένα πεπερασμένο σύνολο $Α$ θετικών ακεραίων θα το λέμε καλό αν για κάθε στοιχείο $χ$ του $Α$ ισχύει ότι ο $χ$ διαιρεί το άθροισμα όλων των στοιχείων του $Α$.

Να αποδειχθεί ότι κάθε πεπερασμένο σύνολο θετικών ακεραίων είναι υποσύνολο ενός καλού συνόλου.

Είναι άρρητος!

 Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $ \sqrt[100]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\sqrt[100]{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ είναι άρρητος.

Διοφαντική εξίσωση από τη Ρωσία

 Βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης  $(x^2 - y^2)^2 = 1 + 16y$.

Τα τελευταία δύο ψηφία του $3^{100}$

 Μπορείτε να βρείτε τα τελευταία δύο ψηφία του $3^{100}$;

Είναι (αναπάντεχα) φυσικός!

 Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός

$A=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{143}+\sqrt{144}}$

είναι φυσικός.

Κίτρινα εμβαδά

 

Ποια από τις δύο κίτρινες επιφάνειες είναι μεγαλύτερη, ο κεντρικός δίσκος ή ο εξωτερικός δακτύλιος; Οι δακτύλιοι ισαπέχουν μεταξύ τους.