Processing math: 0%

Πέμπτη 30 Δεκεμβρίου 2021

H Άλγεβρα στην υπηρεσία της Γεωμετρίας!

 Τα εμβαδά των τεσσάρων μικρών ορθογωνίων και του κεντρικού τετραγώνου φαίνονται στο σχήμα. Βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου ABCD.



Πρόβλημα από την Σιγκαπούρη!

 Αν m,n είναι δύο διαφορετικοί αριθμοί ώστε

                              m^2=n+2 και n^2=m+2 

τότε να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης 

                                     4mn-m^3-n^3.

Υπολογίστε το ριζικό με τη βοήθεια της Άλγεβρας!

 Υπολογίστε την αριθμητική τιμή της παράστασης \sqrt{\dfrac{2023^3-2021^3-2}{6}}.

Υπολογίστε την τιμή του κλάσματος!

Αν  \dfrac{x-y}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}} τότε να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{x}{y}.

Βρείτε το κόκκινο εμβαδόν

 


Τετάρτη 29 Δεκεμβρίου 2021

Τέσσερα ημικύκλια και ένα τετράγωνο!

 Σε τετράγωνο με πλευρά 4 σχεδιάζουμε τις διαγωνίους του και κατόπιν κατασκευάζουμε τέσσερα ίσα ημικύκλια όπως στο σχήμα. Υπολογίστε το γαλάζιο εμβαδόν!



Τρίτη 28 Δεκεμβρίου 2021

Βρείτε το εμβαδόν του πράσινου ορθογωνίου

 Το ABCD είναι τετράγωνο. Βρείτε το εμβαδόν του πράσινου ορθογωνίου. 


Τρίτη 21 Δεκεμβρίου 2021

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης

Υπάρχει άραγε μια συλλογή 2021 διαφορετικών θετικών ακέραιων, που έχουν την παρακάτω ιδιότητα: αν διαλέξουμε από αυτή οποιοδήποτε αριθμό a, οι υπόλοιποι 2020 αριθμοί μπορούν να χωρισθούν σε ζεύγη έτσι, ώστε ο a να διαιρείται με την διαφορά των αριθμών κάθε ζεύγους;


Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης

Θέματα 8ης τάξης για την 2η φάση, 16 Φεβρουαρίου 2021.


Δευτέρα 20 Δεκεμβρίου 2021

Ρητοποίηση παρονομαστή

 Να ρητοποιήσετε τον παρανομαστή του κλάσματος 

         \dfrac{1}{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1}.

Κυριακή 19 Δεκεμβρίου 2021

Μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση (1)


 

Επαναληπτική άσκηση στα όρια (1)

 


Επαναληπτική άσκηση στα όρια (2)


Μέχρι και την συνέχεια

 Έστω συνάρτηση f:\mathbb R\to \mathbb R συνεχής και γνησίως μονότονη με f(\mathbb R)=\mathbb R, η οποία διέρχεται από το σημείο A(1,2) και \displaystyle{\lim_{x\to 3}\dfrac{(x-3)f(x)-\cos(x-3)+1}{\sqrt{x+1}-2}=16.}

Έστω συνάρτηση g:\mathbb R\to \mathbb R συνεχής g(0)=-2 g^2(x)-2x^2g(x)=4-x^4,x\in \mathbb R.

α) Να δείξετε ότι f(3)=4 και ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και αντιστρέψιμη.

β) Να δείξετε ότι g(x)=x^2-2,x\in \mathbb R.

γ) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τη γραφική παράσταση της g σε ένα τουλάχιστον σημείο.

δ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x_0\in (1,3) τέτοιο ώστε 6f(x_0)=f(1)+2f(2)+3f(3).

ε) Να λύσετε την εξίσωση f(e^{x-3}+\dfrac{1}{3}x^3-7)=f^{-1}(4)+f^{-1}(2). 

 Του Αβραάμ Τσακμακίδη  (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 

Μέχρι και τον ορισμό της παραγώγου

 Έστω f,g παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο x_0=2,  με f(2)=g(2)+8 και ισχύει f(x)<g(x)+x^3 για κάθε  x\ne 2.

i) Να δείξετε ότι f'(2)=g'(2)+12.

ii) Αν επιπλέον 

g(x)=\begin{cases}x^2, & x \leq 2\\αx+ β, & x > 2\end{cases}

α) Να βρείτε τα α,β.
β) Να βρεθούν  οι g'(2) και f'(2).
γ) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\lim_{h\to 0}\dfrac{f(2+3h)-f(2-h)}{h}.}
δ) Να δείξετε ότι \displaystyle{\lim_{h\to 0}\dfrac{f^2(2-5h)-f^2(2)}{h}=-1920.}
ε) Να δείξετε ότι \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}x[g\left(\dfrac{2x+1}{x}\right)-g(2)]=4.}

Του Αβραάμ Τσακμακίδη  (3ο Λύκειο Γιαννιτσών)

Σάββατο 18 Δεκεμβρίου 2021

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 8 ΙΟΥΛΙΟΥ 2010 ΘΕΜΑ Β

 

Δίνεται η συνάρτηση f: [α, β]\to\mathbb R, όπου α,β\in\mathbb R με α<0<β, η οποία είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β).

Αν ισχύει f(α)=5β και f(β)=5α, να αποδείξετε ότι:

B1. Η εξίσωση f(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α, β).

Μονάδες 10

B2. Υπάρχει σημείο Μ(ξ,f(ξ)) της γραφικής παράστασης Cf της f, στο οποίο η εφαπτομένη  της Cf  είναι κάθετη στην ευθεία ε: x5y+2010=0.

Μονάδες 10

B3. Η συνάρτηση f παίρνει την τιμή \dfrac{5}{2}(α+β).

Μονάδες 5

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 8 ΙΟΥΛΙΟΥ 2010 ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (x+3)\sqrt{9-x^2}.

Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Μονάδες 4

Δ2. Να βρείτε την παράγωγο της f

α. στο ανοικτό διάστημα (-3,3) (Μονάδες 3)

β. στο σημείο x_0=-3. (Μονάδες 3)

Μονάδες 6

Δ3. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f.

Μονάδες 9

Δ4. Να βρείτε τα ακρότατα της f.

Μονάδες 6

 

Κοινές ακέραιες λύσεις

 α) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων 

\boxed{4\left(x-250 \right)\leq 5\left(x+201 \right)+8} και \boxed{\dfrac{12x-40}{3}<4x+20-\dfrac{x-15}{60}}

β) Πόσες είναι οι κοινές ακέραιες λύσεις τους; Να υπολογίσετε επίσης το άθροισμα και το γινόμενο όλων αυτών των κοινών ακέραιων λύσεων.

Παρασκευή 17 Δεκεμβρίου 2021

Ύπαρξη ρίζας (1)

 Δίνεται  συνεχής  συνάρτηση   f:(0, + \infty) \to \mathbb {R} 

   για  την  οποία  ισχύουν f(x) > 0   για  κάθε  x > 0   και   f\left( {\dfrac{α}{β}} \right) \cdot f\left( {\dfrac{β}{γ}} \right) \cdot f\left( {\dfrac{γ}{α}} \right) = 1  όπου  0 < α < β < γ.  

Να  δείξετε  ότι  υπάρχει  ξ > 0  τέτοιο  ώστε   \displaystyle{f(\xi ) = \xi ^{2020}}.

Συνεχής f με ιδιότητα f(x)>f(x+3) για κάθε x \in \mathbb R

 Η συνάρτηση f:\mathbb R \to \mathbb R είναι συνεχής στο \mathbb R. Αν f(0)=f(4)=0 και f(x)>f(x+3) για κάθε x \in \mathbb R να αποδείξετε ότι υπάρχει \xi  \in \left( {1,3} \right) τέτοιο ώστε f(ξ)=0.

Πολυωνυμική εξίσωση τρίτου βαθμού έχει ρίζα στο διάστημα (0,2)

 Έστω οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί a,b,c με 3a+2b+3c=0 . Να δείξετε ότι η εξίσωση ax^{3}+bx+c=0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (0,2).

Υπόδειξη Προσπαθήστε να βρείτε έναν γραμμικό συνδυασμό των αριθμών f(0),f(\dfrac{1}{2}),f(\dfrac{3}{2}) ίσο με το 0. Μετά απαγωγή σε άτοπο.

Επαναληπτική άσκηση μέχρι τη συνέχεια (1)

 Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχή και γνησίως μονότονη στο \mathbb {R} με : 6f(1)+4f(4)-13=f^2(1)+f^2(4).

i) Να βρείτε τα f(1) , f(4) και να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.

ii) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό x_o\in (1,4) τέτοιο ώστε \dfrac{f(x_o)}{x_o}=2.

iii) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό x_1\in (1,4) τέτοιο ώστε 2f(2)+3f(3)+5f(\dfrac{5}{2})= 10f(x_1).

iv) Αν η συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών το \mathbb R, να λύσετε την ανίσωση f^{-1}(f(x^3-3x+3)-1)>4.

Βάλτε στη σειρά τις δυνάμεις και τις ρίζες

 Αν 0<α<1 και β>1 να αποδείξετε ότι:

1)  1>α>α^2>α^3>α^4>...>0

2)  1<β<β^2<β^3<β^4<...

3)  0<α<\sqrt{α}<\sqrt[3]{α}<\sqrt[4]{α}<\sqrt[5]{α}<...<1

4)  β>\sqrt{β}>\sqrt[3]{β}>\sqrt[4]{β}>\sqrt[5]{β}>...>1

Μπορείτε να βρείτε το κόκκινο εμβαδόν;

 Το ABCD του παρακάτω σχήματος είναι παραλληλόγραμμο. Γνωρίζουμε τα εμβαδά των κίτρινων περιοχών. Μπορείτε να βρείτε το εμβαδόν της κόκκινης περιοχής;


Τετάρτη 15 Δεκεμβρίου 2021

Παρασκευή 10 Δεκεμβρίου 2021

Βρείτε το άγνωστο εμβαδόν!

 Στο παρακάτω oρθογώνιο βρείτε το εμβαδόν που λείπει.



Κροατικό εμβαδόν!

 Μπορείτε να βρείτε το άγνωστο εμβαδόν;


Πέμπτη 9 Δεκεμβρίου 2021

Ευθύγραμμο τμήμα με ακέραιο μήκος

 


Γνωρίζουμε ότι το μήκος της διαγωνίου BD είναι ακέραιος αριθμός.

Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου BD. 

Αναλογία που οδηγεί σε ανισότητα

 Αν α,β,γ,δ θετικοί αριθμοί και \dfrac{α}{β}=\dfrac{β}{γ}=\dfrac{γ}{δ}, να αποδείξετε ότι:

                                 |α-δ|\ge 3|β-γ|.


Σύγκριση άρρητων αριθμών (Ι)

 Να συγκρίνετε τους αριθμούς:

α) \sqrt 7 και \sqrt 5 +\sqrt 2

β) 1-\sqrt 2 και \sqrt 2-\sqrt 3

γ) \sqrt [3]{3} και \sqrt 2

δ) \sqrt 3+\sqrt {2} και \sqrt 6+1

ε) \sqrt{5+2\sqrt {6}} και \sqrt 3+\sqrt 2

Σύγκριση άρρητων αριθμών (II)

 Να συγκρίνετε τους αριθμούς:

α) \sqrt 3+\sqrt 6 και \sqrt 2+\sqrt 7

β) \sqrt 6-\sqrt 3 και 3-\sqrt 2

γ) \sqrt 5-2 και \sqrt {10}-\sqrt 2

δ) 1-\sqrt 2+\sqrt 3 και \sqrt 2-\sqrt 3+\sqrt 5

Δευτέρα 6 Δεκεμβρίου 2021

Άθροισμα των x_i και y_i ίσο με 0

  Αν 

x_1+x_2+x_3=0, όχι όλοι τους μηδέν,

y_1+y_2+y_3=0, όχι όλοι τους μηδέν και

x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3=0, αποδείξτε ότι:

\frac{x_1^2}{x_1^2+x_2^2+x_3^2}+\frac{y_1^2}{y_1^2+y_2^2+y_3^2}=\frac{2}{3}

Κυριακή 5 Δεκεμβρίου 2021

Ακέραιες λύσεις

Βρείτε τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = y^4.

Πολλαπλάσιο του 343

Αποδείξτε ότι ο αριθμός 2^{147} - 1 είναι πολλαπλάσιο του 343.

Είναι ρητός ή άρρητος;

Ο αριθμός

\sqrt[3]{\sqrt 5 + 2} + \sqrt[3]{\sqrt 5 - 2}

είναι ρητός ή άρρητος;

Για ποιες τιμές της παραμέτρου το σύστημα έχει το πολύ μία πραγματική λύση;

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a για τις οποίες το σύστημα των εξισώσεων

x^4 = yz - x^2 + a,

y^4 = zx - y^2 + a,

z^4 = xy - z^2 + a,

έχει το πολύ μία πραγματική λύση.

Υπάρχουν τέτοιες εξισώσεις;

 Εξετάστε αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί a, b, c, t για τους οποίους:

(i) η εξίσωση ax^2 + btx + c = 0 έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες x_1, x_2,

(ii) η εξίσωση bx^2 + ctx + a = 0 έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες x_2, x_3,

(iii) η εξίσωση cx^2 + atx + b = 0 έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες x_3, x_1.

Ανισότητα (16)

Αποδείξτε ότι

\frac{a_1+ a_3}{a_1 + a_2} + \frac{a_2 + a_4}{a_2 + a_3} + \frac{a_3 + a_1}{a_3 + a_4} + \frac{a_4 + a_2}{a_4 + a_1} \geq 4,

where a_1,a_ 2,a_ 3,a_ 4>0.

Εύκολο Παραμετρικό Σύστημα

 Λύστε το παρακάτω σύστημα εξισώσεων με αγνώστους τους x,y, όπου a,b\in\mathbb{R} και a\neq 0.

x^2 + xy = a^2 + ab y^2 + xy = a^2 - ab

Ένα τουλάχιστον εμβαδόν είναι μικρότερο ή ίσο του ενός τετάρτου του συνολικού

 Έστω τρίγωνο ABC και P, Q, R τρία εσωτερικά σημεία των πλευρών του BC, CA, AB αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι το εμβαδόν τουλάχιστον ενός από τα τρία τρίγωνα AQR, BRP, CPQ είναι μικρότερο ή ίσο από το ένα τέταρτο του εμβαδού του τριγώνου ABC.

Ανισότητα (15)

 Δίνονται ν θετικοί αριθμοί a_{1}, a_{2}, ..., a_{ν} τέτοιοι ώστε a_{1}\cdot a_{2}\cdot ...\cdot a_{ν}=1. Αποδείξτε ότι \left( 1+a_{1}\right) \left( 1+a_{2}\right) ...\left(1+a_{ν}\right) \geq 2^{n}.

Ανισότητα (14)

 Αποδείξτε ότι \dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}\le \dfrac{a+b+c}{2}, όπου a,b,c \in (0,+\infty).

Σάββατο 4 Δεκεμβρίου 2021

Ελάχιστο παράστασης

 Αν 0<a<b<c να βρεθει το ελάχιστο της παράστασης 

\dfrac{4(c^3-a^3)+27(a^2b-c^2b)+24(cb^2-ab^2)}{6b^3}.


πρόβλημα του Χρήστου Πατήλα

9^x-3^x=y^4+2y^3+y^2+2y

 Να βρείτε τις μη αρνητικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:

                      9^x-3^x=y^4+2y^3+y^2+2y.

Χρωματισμός σημείων (1)

 Χρωματίζουμε όλα τα σημεία του επιπέδου κόκκινα ή μπλε. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με κορυφές του ίδιου χρώματος.

Χρωματισμός ακεραίων

 Χρωματίζουμε όλους τους ακέραιους κόκκινους ή μπλε. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τρεις διαφορετικοί ακέραιοι α<β<γ με το ίδιο χρώμα ώστε ο β να είναι ο μέσος όρος των α,γ.

''Καλά'' σύνολα

 Ένα πεπερασμένο σύνολο Α θετικών ακεραίων θα το λέμε καλό αν για κάθε στοιχείο χ του Α ισχύει ότι ο χ διαιρεί το άθροισμα όλων των στοιχείων του Α.

Να αποδειχθεί ότι κάθε πεπερασμένο σύνολο θετικών ακεραίων είναι υποσύνολο ενός καλού συνόλου.

Είναι άρρητος!

 Να αποδείξετε ότι ο αριθμός \sqrt[100]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\sqrt[100]{\sqrt{3}-\sqrt{2}} είναι άρρητος.

Διοφαντική εξίσωση από τη Ρωσία

 Βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης  (x^2 - y^2)^2 = 1 + 16y.

Τα τελευταία δύο ψηφία του 3^{100}

 Μπορείτε να βρείτε τα τελευταία δύο ψηφία του 3^{100};

Παρασκευή 3 Δεκεμβρίου 2021

Είναι (αναπάντεχα) φυσικός!

 Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός

A=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{143}+\sqrt{144}}

είναι φυσικός.

Τετάρτη 1 Δεκεμβρίου 2021

Κίτρινα εμβαδά

 

Ποια από τις δύο κίτρινες επιφάνειες είναι μεγαλύτερη, ο κεντρικός δίσκος ή ο εξωτερικός δακτύλιος; Οι δακτύλιοι ισαπέχουν μεταξύ τους.