Ποια ανισότητα

 Ποια ανισότητα αποδεικνύει το παρακάτω σχήμα;

                                                                                            Καλαθάκης Γιώργης, Ηράκλειο

Είναι κι αυτό ισόπλευρο!

Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι 

$$\dfrac{α^2+β^2}{γ}+\dfrac{β^2+γ^2}{α}+\dfrac{γ^2+α^2}{β}=2(α+β+γ)$$

να αποδείξετε ότι είναι ισόπλευρο.

Απαιτητική ρητοποίηση

Να αποδείξετε ότι 

$$\dfrac{{\sqrt {10 + 4\sqrt 2 } + \sqrt {58 - 4\sqrt 2 } }}{{\sqrt {58 - 4\sqrt 2 } - \sqrt {10 + 4\sqrt 2 } }}=2+\sqrt2$$

Βισβίκης Γιώργος

Μία εξίσωση, δύο άγνωστοι

Να βρεθούν οι $x,y\in \mathbb R$ αν

$$\dfrac{1}{x^2-4x+5}+\dfrac{1}{y^2+4y+5}+x^2+y^2=4(x-y)-6$$ 

Επανάληψη στην Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

 Επανάληψη στην Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Άσκηση εξετάσεων Ιουνίου από σχολείο της Ιεράπετρας

Έστω σκαληνό και µη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ . Τα σηµεία Κ, Λ, Μ είναι τα µέσα των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα . Το σηµείο Ν είναι το ίχνος του ύψους από το Α ( δηλαδή ΑΝ ⊥ ΒΓ ).

1. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι ισοσκελές τραπέζιο . (Μονάδες 15)

2. Αν επί πλέον δοθούν: ΑΒ = 8,  ΒΓ = 6 και $\widehat{ ΑΒΓ} = 120^o$, να υπολογίσετε την περίµετρο και τη διάµεσο του ισοσκελούς αυτού τραπεζίου (Μονάδες 10)

2ο ΓΕΛ Ιεράπετρας, 2014

Εισηγητής: Φραγκάκης Νίκος, εξαιρετικός γεωμέτρης!

Άσκηση εξετάσεων Ιουνίου από σχολείο της Ρόδου

 1ο ΓΕΛ Ρόδου (Βενετόκλειο), 2014

Είναι διάμετροι

Να αποδείξετε πως αν δύο, διαφορετικές, χορδές ενός κύκλου έχουν κοινό μέσο τότε θα είναι υποχρεωτικά διάμετροι του κύκλου αυτού.

Εξίσωση με ριζικά

 Nα λυθεί η εξίσωση

$$\dfrac{1}{\sqrt{2+x}-\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{x}$$

Γεωμετρική ανισότητα Ι

 Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 

$$μ_α+μ_β+μ_γ>\dfrac{α+β+γ}{2}$$.

Γωνία σε ισόπλευρο τρίγωνο!

 Έστω ισόπλευρο τρίγωνο $ΑΒΓ$, το σημείο $Δ$ της πλευράς $ΑΒ$ και το σημείο $Ε$ της πλευράς $ΒΓ$ ώστε $ΑΔ=ΒΕ$. Ονομάζουμε $Ζ$ το σημείο τομής των $ΑΕ$ και $ΓΔ$. Να υπολογίσετε τη γωνία $\widehat{ΓΖΕ}$.

Υπάρχει τέτοιο τρίγωνο;

 Υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ με $α=1$, $β=\sqrt 2$ και $γ=\sqrt [3]{17}$;

13751

 

1749

 

13844

 

13854

 

1688

 

1578

 

1707

 

1582

 

1558

 

12149

 

1676

 

1698

 

1677

 

1656

 

1569

 

1846

 

1725

 

13826

 

12705

 

1591

 

1632

 

1658

 

1646

 

1620

 

1667

 

1684

 

13759

 

1751

 

1752

 

13758

 

13757

 

13835

 

13702

 

13836

 

12417

 

1617

 

1660

 

1648

 

13533

 

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

 Σχεδιάζουμε το ύψος $CH$ και τη διάμεσο $BK$ ενός οξυγωνίου τριγώνου $ABC$. Είναι γνωστό ότι $BK=CH$ και $\widehat{KBC}=\widehat{HCB}.$ 

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $ABC$ είναι ισόπλευρο.

Διπλά ριζικά (I)

Να αποδείξετε ότι:

$α)$ $\sqrt{9+4\sqrt{5}}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}=3$ 

$β)$ $\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}=4$ 

$γ)$ $\sqrt{54+14\sqrt{5}}+\sqrt{12-2\sqrt{35}}+\sqrt{32-10\sqrt{7}}=12$ 

Διπλά ριζικά (ΙΙ)

 Να αποδείξετε ότι:

$\sqrt{26+6\sqrt{13-4\sqrt{8+2\sqrt{6-2\sqrt{5}}}}}+\sqrt{26-6\sqrt{13+4\sqrt{8-2\sqrt{6+2\sqrt{5}}}}}=6$

Γράψτε το κλάσμα χωρίς ριζικά στον παρονομαστή!

 Μετατρέψτε το παρακάτω κλάσμα σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή:

                                $\dfrac{\sqrt{15}+\sqrt{35}+\sqrt{21}+5}{\sqrt{3}+2\sqrt{5}+\sqrt{7}}.$

Operator

 

Εννιαψήφιος αριθμός

Βρείτε κάθε εννιαψήφιο αριθμό $Α$ με τις παρακάτω ιδιότητες:

• Περιέχει και τα εννέα ψηφία από το 1 έως το 9 ακριβώς μία φορά.

• Κάθε διψήφιος αριθμός ο οποίος σχηματίζεται από δύο γειτονικά ψηφία του $Α$ (χωρίς να αλλάζουμε τη σειρά τους) είναι πολλαπλάσιο του 7 ή του 13.

Σύγκριση τμημάτων

            Στο παραπάνω σχήμα ποιο από τα παρακάτω τμήματα είναι το μεγαλύτερο;

             (Α)  ΑΒ           (Β)  CD           (C)  AE           (D)  CE           (E)  BC

            Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
 

Μία εξίσωση με τρεις αγνώστους (2)

 Να βρείτε τους αριθμούς $α,β,γ$ που ικανοποιούν την εξίσωση $$3α^2+2β^2+γ^2-2αγ-2βγ-2α+1=0.$$

Μία εξίσωση με τρεις αγνώστους (1)

 Αν $(α^2-4α+7)(β^2+10β+35)(4γ^2-12γ+11)=60$, τότε βρείτε τους αριθμούς $α,β,γ$.

Τρεις θετικοί αριθμοί που ικανοποιούν τρεις ανισοτικές σχέσεις

 Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς $α,β,γ$ για τους οποίους ισχύουν συγχρόνως οι σχέσεις:

$α^3β+3\leq 4γ$,   $β^3γ+3\leq 4α$  και   $γ^3α+3\leq 4β.$

Εξίσωση με απόλυτες τιμές δύο αγνώστων στους φυσικούς αριθμούς

 Να βρείτε όλα τα ζευγάρια φυσικών αριθμών $\displaystyle{(x,y)}$ που ικανοποιούν την εξίσωση $\displaystyle{|x-2|+|y-3|=3-y}.$

Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός, Α' Λυκείου, 1984

Τρίγωνο με μήκη πλευρών διαδοχικούς ακέραιους

 Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ τα μήκη των πλευρών του είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ισχύει πως $\displaystyle{AB<B\Gamma  <\Gamma A}$.

Αν η διχοτόμος $\displaystyle{A\Delta}$ είναι κάθετη στη διάμεσο $\displaystyle{BE}$, να βρεθούν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου.

Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός, Α' Λυκείου, 1984

Να προσδιοριστεί το είδος του τριγώνου

 Να προσδιορισθεί το είδος του τριγώνου $ABC$ αν για τις πλευρές του $a, b, c \in \mathbb N$ ισχύουν οι σχέσεις:

$a^2<2a+b-c$, $b^2<2b+c-a$ και $c^2<2c+a-b.$

Θαλής, Α' Λυκείου, 1994

Είναι ισοσκελές!

 Δίνεται τρίγωνο  $\displaystyle{AB\Gamma}$ και έστω $\displaystyle{A\Delta}$ ύψος του.

(α) Αν υπάρχουν σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ πάνω στις πλευρές $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{A\Gamma}$, αντίστοιχα, τέτοια ώστε να ισχύουν $\displaystyle{\Delta E = \Delta Z}$ και   $\displaystyle{\widehat{A\Delta E}  =\widehat{A\Delta Z} }$     , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ισοσκελές.

(β) Αν υπάρχουν σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ στις προεκτάσεις των πλευρών $\displaystyle{BA}$ και $\displaystyle{\Gamma A}$ ( προς το μέρος του $\displaystyle{A}$), αντίστοιχα, τέτοια ώστε να ισχύουν $\displaystyle{\Delta E = \Delta Z}$ και $\displaystyle{\widehat{A\Delta E}  =\widehat{A\Delta Z} }$   , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ισοσκελές.

Θαλής, Α' Λυκείου, 2009

Τέμνονται πάνω στο ύψος!

 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB =A\Gamma}$ και το ύψος του $\displaystyle{A\Delta}$. 

Από τυχόν σημείο $\displaystyle{E}$ του ύψους $\displaystyle{A\Delta}$ θεωρούμε ευθεία $\displaystyle{(\epsilon)}$ παράλληλη στη $\displaystyle{B\Gamma}$. 

Πάνω στην ευθεία $\displaystyle{(\epsilon)}$ θεωρούμε δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία $\displaystyle{M,N}$ έτσι ώστε $\displaystyle{EM = EN}$ και $\displaystyle{MB < M\Gamma}$. 

Να αποδείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα $\displaystyle{M\Gamma}$ και $\displaystyle{NB}$  τέμνονται πάνω στο ύψος $\displaystyle{A\Delta}$.

Θαλής, Α' Λυκείου, 2010

Να αποδείξετε ότι τρία σημεία είναι συνευθειακά

 Δίνεται οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ($\displaystyle{AB = A\Gamma}$). 

Κύκλος με κέντρο την κορυφή $\displaystyle{A}$ και ακτίνα $\displaystyle{\rho < AB}$ τέμνει τις πλευρές $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{A\Gamma}$ στα σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{\Delta}$ ,αντίστοιχα. 

Οι ευθείες $\displaystyle{B\Delta , \Gamma E}$ τέμνουν για δεύτερη φορά το κύκλο στα σημεία $\displaystyle{K , N}$ αντίστοιχα. 

Αν $\displaystyle{T}$ είναι το σημείο τομής των $\displaystyle{B\Delta , \Gamma E}$ και $\displaystyle{S}$ το σημείο τομής των $\displaystyle{\Delta N , EK}$ , 

να αποδείξετε ότι τα σημεία $\displaystyle{A, S}$ και $\displaystyle{T}$ βρίσκονται επάνω στην ίδια ευθεία.

Θαλής, Α' Λυκείου, 2011

Δύο ισόπλευρα τρίγωνα

 Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ και σημείο Β στο εσωτερικό του. Κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΕ προς το ίδιο μέρος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ. Αν τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΕ και ΓΔ τέμνονται στο σημείο Ζ, να υπολογίσετε τη γωνία ΑΖΔ.

Θαλής, Α' Λυκείου, 2001

Εξίσωση α΄ βαθμού

 Να λύσετε την εξίσωση:

$\displaystyle{\frac{x-25}{1975}+ \frac{x-23}{1977}+ \frac{x-21}{1979}+ \frac{x-19}{1981}+ \frac{x-17}{1983}+ \frac{x-15}{1985} =}$

$\dfrac{x-1975}{25}+ \dfrac{x-1977}{23}+ \dfrac{x-1979}{21}+ \dfrac{x-1981}{19}+ \dfrac{x-1983}{17}+ \dfrac{x-1985}{15}$.

Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός, Α' Λυκείου, 1985

Ανισότητα (7)

 Αν $\displaystyle{\alpha>0}$ και $\displaystyle{\alpha^5-\alpha^3+\alpha=3}$, να αποδειχθεί οτι $\displaystyle{\alpha^6\ge  5.}$

Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός, Α' Λυκείου, 1988

Σύστημα με τέσσερις αγνώστους

Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x_1,x_2,x_3,x_4}$ για τους οποίους ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις: 

$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1$ 

$x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=1$

Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός, Α' Λυκείου, 1984

Υπολογισμός γωνίας

 Στην πλευρά $BC$ ισοσκελούς τριγώνου $ABC$ ($AB=BC$), θεωρούμε σημεία $M , N$ τέτοια ώστε $NM=AM$, και $\widehat {MAC}=\widehat {BAN}$. Να υπολογίσετε την γωνία $\widehat {CAN}.$

Θαλής Α' Λυκείου, 1997

Διχοτόμηση γωνίας

 Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB<A\Gamma}$. Πάνω στην ημιευθεία $\displaystyle{AB}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{B'}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{(AB')=(A\Gamma )}$ 

και πάνω στην πλευρά $\displaystyle{A\Gamma}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{\Gamma '}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{(A\Gamma ')=(AB)}$. Έστω $\displaystyle{I}$ το σημείο τομής των ευθειών $\displaystyle{B\Gamma}$ και $\displaystyle{B'\Gamma '}$. 

Να αποδειχτεί ότι η $\displaystyle{AI}$ είναι η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A}}$.

Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός, Α' Λυκείου, 1988  

(Τότε ο 1ος γύρος δεν λεγόταν Θαλής.)

Ανισότητα (16)

 Να αποδείξετε ότι $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\geq-1$ για κάθε $x\in\mathbb R.$

Βρείτε την άγνωστη γωνία!

 

Σκακιέρα 6x6

 Μπορούμε να τοποθετήσουμε στα τετράγωνα μιας $6\times6$ σκακιέρας αριθμούς από το σύνολο $\{-1,0,1\}$ έτσι ώστε σε κάθε γραμμή, κάθε στήλη και κάθε μία από τις διαγώνιες της σκακιέρας το άθροισμα των αριθμών να είναι διαφορετικό;

Τα θέματα του Θαλή των τελευταίων 15 ετών με τις λύσεις τους

Αρχείο θεμάτων διαγωνισμών Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

Στον παραπάνω σύνδεσμο  θα βρείτε τα θέματα του Θαλή των τελευταίων 15 ετών με τις λύσεις τους.

Ποτέ δεν κάνει 33

 Αν $x,y$ είναι ακέραιοι τότε να αποδειχθεί ότι $$x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5\neq 33.$$

Είναι παραλληλόγραμμο!

 Δίνεται τρίγωνο $ΑΒΓ$ και έστω τα σημεία $Μ,Ρ$ ώστε $\overrightarrow{ΜΑ}-\overrightarrow{ΜΒ}-3\overrightarrow{ΜΓ}=\overrightarrow{0}$ και $2\overrightarrow{ΡΑ}-2\overrightarrow{ΡΒ}+3\overrightarrow{ΡΓ}=\overrightarrow{0}$. Να αποδείξετε ότι:

1) τα σημεία $Ρ,Γ,Μ$ είναι συνευθειακά

2) το τετράπλευρο $ΑΒΜΡ$ είναι παραλληλόγραμμο.

Γεωμετρικός τόπος σημείων ώστε δύο διανύσματα να είναι παράλληλα

 Δίνεται τρίγωνο $ΑΒΓ$. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων $Μ$ του επιπέδου για τα οποία το διάνυσμα $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{ΜΑ}+\overrightarrow{ΜΒ}+2\overrightarrow{ΜΓ}$ να είναι παράλληλο προς το διάνυσμα $\overrightarrow{ΑΒ}.$

Γεωμετρικός τόπος σημείων ώστε τα μέτρα δύο διανυσμάτων να είναι ίσα

 Δίνεται τρίγωνο $ΑΒΓ$. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων $Μ$ του επιπέδου για τα οποία 

$|\overrightarrow{ΜΑ}+\overrightarrow{ΜΒ}+2\overrightarrow{ΜΓ}|=|\overrightarrow{ΜΑ}+\overrightarrow{ΜΒ}-2\overrightarrow{ΜΓ}|$.

Ορθόκεντρο τριγώνου

 Έστω τρίγωνο $ΑΒΓ$ και $Ο$ το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου. Αν $Η$ είναι σημείο τέτοιο ώστε $$\overrightarrow {ΟΗ}=\overrightarrow {ΟΑ}+\overrightarrow {ΟΒ}+\overrightarrow {ΟΓ},$$

να αποδείξετε ότι το $Η$ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου $ΑΒΓ.$

Σχέσεις σε κύκλο με δύο κάθετες χορδές

 Δίνεται κύκλος με κέντρο $Ο$ και έστω δύο κάθετες μεταξύ τους χορδές $ΑΒ,ΓΔ$ οι οποίες τέμνονται στο σημείο $Ρ$. Να αποδείξετε ότι:

(1) $ \overrightarrow {ΟΑ}+\overrightarrow {ΟΒ}+\overrightarrow {OΓ}+\overrightarrow {ΟΔ}=2\overrightarrow {ΟΡ}$

(2) $ \overrightarrow {ΡΑ}+\overrightarrow {ΡΒ}+\overrightarrow {ΡΓ}+\overrightarrow {ΡΔ}=2\overrightarrow {ΡΟ}$

(3) Αν $Ε$ και $Ζ$ είναι τα μέσα των χορδών $ΒΓ$ και $ΑΔ$ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το $ΟΕΜΖ$ είναι παραλληλόγραμμο.

Τα διανύσματα είναι τελικά αντίθετα!

 Για τα διανύσματα $\overrightarrow α$ και $\overrightarrow β$ ισχύει ότι $|x\overrightarrow α+(x+1)\overrightarrow β|\geq \dfrac{|\overrightarrow α|+|\overrightarrow β|}{2}$ για κάθε $x\in \mathbb R.$ Να αποδείξετε ότι $\overrightarrow α+\overrightarrowβ=\overrightarrow 0.$

Αν διακρίνεις περιπτώσεις, έχεις το συμπέρασμα!

 Αποδείξτε ότι $x^{12}-x^9+x^4-x+1>0$ για κάθε $x\in \mathbb R.$

Ανισότητα από τον Καναδά

 Έστω $x,y$ δύο θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $x+y=1$. Αποδείξτε ότι 

$$(1+\dfrac{1}{x})(1+\dfrac{1}{y})\geq 9.$$

Ανισότητα με μία θετική μεταβλητή

 Έστω $x$ ένας θετικός αριθμός. Αποδείξτε ότι $x^5+x+1\geq 3x^2.$

Ποιος από τους τρεις αριθμούς είναι ο μεγαλύτερος;

Οι αριθμοί $α,β,γ$ ικανοποιούν τις σχέσεις $α+β-1=β+γ=γ+α+3$. Ποιος από τους $α,β,γ$ είναι ο μεγαλύτερος;

Σχήμα φτιαγμένο από ημικύκλια

Το σχήμα αποτελείται από ημικύκλια ακτίνας $5$. Ποιο είναι το εμβαδόν του;

 

Αριθμητική τιμή παράστασης (2)

Πόσο κάνει $20192014\cdot 20192015-20192012\cdot 20192017$;

Ποιος από τους τέσσερις είναι ο μεγαλύτερος;

 Οι αριθμοί $a,b,c,d$ είναι μεγαλύτεροι του $2$. Σχηματίζουμε τους αριθμούς $A=\dfrac{a+b}{c+d}$,  $B=\dfrac{a\cdot b}{c+d}$,  $C=\dfrac{a+b}{c\cdot d}$ και $D=\dfrac{a\cdot b}{c\cdot d}$.

Ποιος από τους $A,B,C,D$ είναι ο μεγαλύτερος;

Βρείτε το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου

 Στο παραπάνω σχήμα φαίνονται τρία τετράγωνα. Τα δύο μικρότερα έχουν εμβαδόν 1 και 16. Βρείτε το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου.

Τιμή αριθμητικής παράστασης

 Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης

$(1^2+2^2+3^2+...+2021^2)-(0\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot 4+...+2020\cdot 2022)$.

Ποιος από τους πέντε είναι ο μεγαλύτερος;

 Ο Μάνθος διάλεξε δύο θετικούς αριθμούς α και β. Ο αριθμός α είναι μικρότερος από το 1 ενώ ο αριθμός β είναι μεγαλύτερος από το 1. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι ο μεγαλύτερος; 

1) $α+β$   

2) $α\cdot β$  

3) $\dfrac{α}{β}$   

4) $α^{2022}$  

5) $β$

Ο αριθμός $\sqrt2+\sqrt[3]3$ είναι άρρητος.

 Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\sqrt 2+\sqrt[3] 3$ είναι άρρητος.

Μήκος τμήματος

 Το ABC είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο με AB=AC=10 και BC = 12. Τα σημεία S και Q είναι πάνω στην BC τέτοια ώστε BS=RC=3. Τα μέσα των AB και AC είναι τα P και Q αντίστοιχα. Οι κάθετες από τα P και R στην SQ  τη συναντούν στα M και N αντίστοιχα. Βρείτε το μήκος MN.

 

Απόσταση κορυφών ισόπλευρων τριγώνων

 Το $CYQZ$ είναι ορθογώνιο. Τα τρίγωνα $ABC$ και $PQR$ είναι ισόπλευρα πλευράς $9$. Υπολογίστε το μήκος του $AP$.

Μήκος χορδής κύκλου εντός ορθογωνίου

 Να υπολογιστεί το μήκος της χορδής $ΑΒ$.

Μήκος μέσα σε κύβο

Ο παρακάτω κύβος έχει ακμή 2. Υπολογίστε το $RQ.$