Τα εμβαδά των τεσσάρων μικρών ορθογωνίων και του κεντρικού τετραγώνου φαίνονται στο σχήμα. Βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου $ABCD.$
Πέμπτη 30 Δεκεμβρίου 2021
Πρόβλημα από την Σιγκαπούρη!
Αν $m,n$ είναι δύο διαφορετικοί αριθμοί ώστε
$m^2=n+2$ και $n^2=m+2$
τότε να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης
$4mn-m^3-n^3.$
Υπολογίστε το ριζικό με τη βοήθεια της Άλγεβρας!
Υπολογίστε την αριθμητική τιμή της παράστασης $\sqrt{\dfrac{2023^3-2021^3-2}{6}}.$
Υπολογίστε την τιμή του κλάσματος!
Αν $\dfrac{x-y}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ τότε να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{x}{y}.$
Τετάρτη 29 Δεκεμβρίου 2021
Τέσσερα ημικύκλια και ένα τετράγωνο!
Σε τετράγωνο με πλευρά $4$ σχεδιάζουμε τις διαγωνίους του και κατόπιν κατασκευάζουμε τέσσερα ίσα ημικύκλια όπως στο σχήμα. Υπολογίστε το γαλάζιο εμβαδόν!
Τρίτη 28 Δεκεμβρίου 2021
Βρείτε το εμβαδόν του πράσινου ορθογωνίου
Το $ABCD$ είναι τετράγωνο. Βρείτε το εμβαδόν του πράσινου ορθογωνίου.
Τετάρτη 22 Δεκεμβρίου 2021
Τρίτη 21 Δεκεμβρίου 2021
Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Υπάρχει άραγε μια συλλογή $2021$ διαφορετικών θετικών ακέραιων, που έχουν την παρακάτω ιδιότητα: αν διαλέξουμε από αυτή οποιοδήποτε αριθμό $a$, οι υπόλοιποι $2020$ αριθμοί μπορούν να χωρισθούν σε ζεύγη έτσι, ώστε ο $a$ να διαιρείται με την διαφορά των αριθμών κάθε ζεύγους;
Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα 8ης τάξης για την 2η φάση, 16 Φεβρουαρίου 2021.
Δευτέρα 20 Δεκεμβρίου 2021
Ρητοποίηση παρονομαστή
Να ρητοποιήσετε τον παρανομαστή του κλάσματος
$\dfrac{1}{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1}.$
Κυριακή 19 Δεκεμβρίου 2021
Μέχρι και την συνέχεια
Έστω συνάρτηση $f:\mathbb R\to \mathbb R$ συνεχής και γνησίως μονότονη με $f(\mathbb R)=\mathbb R,$ η οποία διέρχεται από το σημείο $A(1,2)$ και $\displaystyle{\lim_{x\to 3}\dfrac{(x-3)f(x)-\cos(x-3)+1}{\sqrt{x+1}-2}=16.}$
Έστω συνάρτηση $g:\mathbb R\to \mathbb R$ συνεχής $g(0)=-2$ $g^2(x)-2x^2g(x)=4-x^4,x\in \mathbb R.$
α) Να δείξετε ότι $f(3)=4$ και ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα και αντιστρέψιμη.
β) Να δείξετε ότι $g(x)=x^2-2,x\in \mathbb R.$
γ) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τη γραφική παράσταση της $g$ σε ένα τουλάχιστον σημείο.
δ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_0\in (1,3)$ τέτοιο ώστε $6f(x_0)=f(1)+2f(2)+3f(3).$
ε) Να λύσετε την εξίσωση $f(e^{x-3}+\dfrac{1}{3}x^3-7)=f^{-1}(4)+f^{-1}(2).$
Του Αβραάμ Τσακμακίδη (3ο Λύκειο Γιαννιτσών)
Μέχρι και τον ορισμό της παραγώγου
Έστω $f,g$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο $x_0=2,$ με $f(2)=g(2)+8$ και ισχύει $f(x)<g(x)+x^3$ για κάθε $x\ne 2.$
i) Να δείξετε ότι $f'(2)=g'(2)+12.$
ii) Αν επιπλέον
$g(x)=\begin{cases}x^2, & x \leq 2\\αx+ β, & x > 2\end{cases}$
α) Να βρείτε τα $α,β.$
β) Να βρεθούν οι $g'(2)$ και $f'(2).$
γ) Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\lim_{h\to 0}\dfrac{f(2+3h)-f(2-h)}{h}.}$
δ) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\lim_{h\to 0}\dfrac{f^2(2-5h)-f^2(2)}{h}=-1920.}$
ε) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}x[g\left(\dfrac{2x+1}{x}\right)-g(2)]=4.}$
Του Αβραάμ Τσακμακίδη (3ο Λύκειο Γιαννιτσών)
Σάββατο 18 Δεκεμβρίου 2021
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 8 ΙΟΥΛΙΟΥ 2010 ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση $f: [α, β]\to\mathbb R,$ όπου $α,β\in\mathbb R$ με $α<0<β,$ η οποία είναι συνεχής στο $[α, β]$ και παραγωγίσιμη στο $(α, β).$
Αν ισχύει $f(α)=5β$ και $f(β)=5α,$ να αποδείξετε ότι:
B1. Η εξίσωση $f(x)=0$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(α, β).$
Μονάδες
10
B2. Υπάρχει
σημείο $Μ(ξ,f(ξ))$ της
γραφικής παράστασης Cf της $f,$ στο οποίο η εφαπτομένη της Cf είναι κάθετη στην
ευθεία ε: x–5y+2010=0.
Μονάδες
10
B3. Η συνάρτηση f παίρνει την τιμή $\dfrac{5}{2}(α+β).$
Μονάδες 5
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 8 ΙΟΥΛΙΟΥ 2010 ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = (x+3)\sqrt{9-x^2}.$
Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Μονάδες 4
Δ2. Να βρείτε την παράγωγο της $f$
α. στο ανοικτό διάστημα $(-3,3)$ (Μονάδες 3)
β. στο σημείο $x_0=-3.$ (Μονάδες 3)
Μονάδες 6
Δ3. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της $f.$
Μονάδες 9
Δ4. Να βρείτε τα ακρότατα της $f.$
Μονάδες
6
Κοινές ακέραιες λύσεις
α) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων
$\boxed{4\left(x-250 \right)\leq 5\left(x+201 \right)+8}$ και $\boxed{\dfrac{12x-40}{3}<4x+20-\dfrac{x-15}{60}}$
β) Πόσες είναι οι κοινές ακέραιες λύσεις τους; Να υπολογίσετε επίσης το άθροισμα και το γινόμενο όλων αυτών των κοινών ακέραιων λύσεων.
Παρασκευή 17 Δεκεμβρίου 2021
Ύπαρξη ρίζας (1)
Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:(0, + \infty) \to \mathbb {R}$
για την οποία ισχύουν $f(x) > 0$ για κάθε $x > 0$ και $f\left( {\dfrac{α}{β}} \right) \cdot f\left( {\dfrac{β}{γ}} \right) \cdot f\left( {\dfrac{γ}{α}} \right) = 1$ όπου $0 < α < β < γ.$
Να δείξετε ότι υπάρχει $ξ > 0$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(\xi ) = \xi ^{2020}}.$
Συνεχής $f$ με ιδιότητα $f(x)>f(x+3)$ για κάθε $x \in \mathbb R$
Η συνάρτηση $f:\mathbb R \to \mathbb R$ είναι συνεχής στο $\mathbb R.$ Αν $f(0)=f(4)=0$ και $f(x)>f(x+3)$ για κάθε $x \in \mathbb R$ να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi \in \left( {1,3} \right)$ τέτοιο ώστε $f(ξ)=0.$
Πολυωνυμική εξίσωση τρίτου βαθμού έχει ρίζα στο διάστημα (0,2)
Έστω οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$ με $3a+2b+3c=0$ . Να δείξετε ότι η εξίσωση $ax^{3}+bx+c=0$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα $(0,2).$
Υπόδειξη Προσπαθήστε να βρείτε έναν γραμμικό συνδυασμό των αριθμών $f(0),f(\dfrac{1}{2}),f(\dfrac{3}{2})$ ίσο με το $0.$ Μετά απαγωγή σε άτοπο.
Επαναληπτική άσκηση μέχρι τη συνέχεια (1)
Θεωρούμε συνάρτηση $f $ συνεχή και γνησίως μονότονη στο $\mathbb {R}$ με : $6f(1)+4f(4)-13=f^2(1)+f^2(4)$.
i) Να βρείτε τα $f(1) , f(4)$ και να δείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα.
ii) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_o\in (1,4)$ τέτοιο ώστε $\dfrac{f(x_o)}{x_o}=2.$
iii) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_1\in (1,4)$ τέτοιο ώστε $2f(2)+3f(3)+5f(\dfrac{5}{2})= 10f(x_1)$.
iv) Αν η συνάρτηση $f$ έχει σύνολο τιμών το $\mathbb R,$ να λύσετε την ανίσωση $f^{-1}(f(x^3-3x+3)-1)>4$.
Βάλτε στη σειρά τις δυνάμεις και τις ρίζες
Αν $0<α<1$ και $β>1$ να αποδείξετε ότι:
$1)$ $1>α>α^2>α^3>α^4>...>0$
$2)$ $1<β<β^2<β^3<β^4<...$
$3)$ $0<α<\sqrt{α}<\sqrt[3]{α}<\sqrt[4]{α}<\sqrt[5]{α}<...<1$
$4)$ $β>\sqrt{β}>\sqrt[3]{β}>\sqrt[4]{β}>\sqrt[5]{β}>...>1$
Μπορείτε να βρείτε το κόκκινο εμβαδόν;
Το $ABCD$ του παρακάτω σχήματος είναι παραλληλόγραμμο. Γνωρίζουμε τα εμβαδά των κίτρινων περιοχών. Μπορείτε να βρείτε το εμβαδόν της κόκκινης περιοχής;
Τετάρτη 15 Δεκεμβρίου 2021
Παρασκευή 10 Δεκεμβρίου 2021
Πέμπτη 9 Δεκεμβρίου 2021
Ευθύγραμμο τμήμα με ακέραιο μήκος
Γνωρίζουμε ότι το μήκος της διαγωνίου $BD$ είναι ακέραιος αριθμός.
Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου $BD.$
Αναλογία που οδηγεί σε ανισότητα
Αν $α,β,γ,δ$ θετικοί αριθμοί και $\dfrac{α}{β}=\dfrac{β}{γ}=\dfrac{γ}{δ},$ να αποδείξετε ότι:
$|α-δ|\ge 3|β-γ|.$
Σύγκριση άρρητων αριθμών (Ι)
Να συγκρίνετε τους αριθμούς:
$α)$ $\sqrt 7$ και $\sqrt 5 +\sqrt 2$
$β)$ $1-\sqrt 2$ και $\sqrt 2-\sqrt 3$
$γ)$ $\sqrt [3]{3}$ και $\sqrt 2$
$δ)$ $\sqrt 3+\sqrt {2}$ και $\sqrt 6+1$
$ε)$ $\sqrt{5+2\sqrt {6}}$ και $\sqrt 3+\sqrt 2$
Σύγκριση άρρητων αριθμών (II)
Να συγκρίνετε τους αριθμούς:
$α)$ $\sqrt 3+\sqrt 6$ και $\sqrt 2+\sqrt 7$
$β)$ $\sqrt 6-\sqrt 3$ και $3-\sqrt 2$
$γ)$ $\sqrt 5-2$ και $\sqrt {10}-\sqrt 2$
$δ)$ $1-\sqrt 2+\sqrt 3$ και $\sqrt 2-\sqrt 3+\sqrt 5$
Τετάρτη 8 Δεκεμβρίου 2021
Δευτέρα 6 Δεκεμβρίου 2021
Άθροισμα των $x_i$ και $y_i$ ίσο με $0$
Αν
$x_1+x_2+x_3=0,$ όχι όλοι τους μηδέν,
$y_1+y_2+y_3=0,$ όχι όλοι τους μηδέν και
$x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3=0,$ αποδείξτε ότι:
\[ \frac{x_1^2}{x_1^2+x_2^2+x_3^2}+\frac{y_1^2}{y_1^2+y_2^2+y_3^2}=\frac{2}{3}\]
Κυριακή 5 Δεκεμβρίου 2021
Είναι ρητός ή άρρητος;
Ο αριθμός
\[\sqrt[3]{\sqrt 5 + 2} + \sqrt[3]{\sqrt 5 - 2}\]
είναι ρητός ή άρρητος;
Για ποιες τιμές της παραμέτρου το σύστημα έχει το πολύ μία πραγματική λύση;
Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $a$ για τις οποίες το σύστημα των εξισώσεων
\[x^4 = yz - x^2 + a,\]
\[y^4 = zx - y^2 + a,\]
\[z^4 = xy - z^2 + a,\]
έχει το πολύ μία πραγματική λύση.
Υπάρχουν τέτοιες εξισώσεις;
Εξετάστε αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $a, b, c, t$ για τους οποίους:
$(i)$ η εξίσωση $ax^2 + btx + c = 0$ έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες $x_1, x_2,$
$(ii)$ η εξίσωση $bx^2 + ctx + a = 0$ έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες $x_2, x_3,$
$(iii)$ η εξίσωση $cx^2 + atx + b = 0$ έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες $x_3, x_1.$
Ανισότητα (16)
Αποδείξτε ότι
\[ \frac{a_1+ a_3}{a_1 + a_2} + \frac{a_2 + a_4}{a_2 + a_3} + \frac{a_3 + a_1}{a_3 + a_4} + \frac{a_4 + a_2}{a_4 + a_1} \geq 4, \]
where $a_1,a_ 2,a_ 3,a_ 4>0.$
Εύκολο Παραμετρικό Σύστημα
Λύστε το παρακάτω σύστημα εξισώσεων με αγνώστους τους $x,y$, όπου $a,b\in\mathbb{R}$ και $a\neq 0$.
\[x^2 + xy = a^2 + ab\] \[y^2 + xy = a^2 - ab\]
Ένα τουλάχιστον εμβαδόν είναι μικρότερο ή ίσο του ενός τετάρτου του συνολικού
Έστω τρίγωνο $ABC$ και $ P$, $ Q$, $ R$ τρία εσωτερικά σημεία των πλευρών του $ BC$, $ CA$, $ AB$ αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι το εμβαδόν τουλάχιστον ενός από τα τρία τρίγωνα $ AQR$, $ BRP$, $ CPQ$ είναι μικρότερο ή ίσο από το ένα τέταρτο του εμβαδού του τριγώνου $ ABC$.
Ανισότητα (15)
Δίνονται $ν$ θετικοί αριθμοί $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{ν}$ τέτοιοι ώστε $a_{1}\cdot a_{2}\cdot ...\cdot a_{ν}=1.$ Αποδείξτε ότι \[ \left( 1+a_{1}\right) \left( 1+a_{2}\right) ...\left(1+a_{ν}\right) \geq 2^{n}.\]
Ανισότητα (14)
Αποδείξτε ότι $\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}\le \dfrac{a+b+c}{2}$, όπου $a,b,c \in (0,+\infty).$
Σάββατο 4 Δεκεμβρίου 2021
Ελάχιστο παράστασης
Αν $ 0<a<b<c$ να βρεθει το ελάχιστο της παράστασης
$ \dfrac{4(c^3-a^3)+27(a^2b-c^2b)+24(cb^2-ab^2)}{6b^3}.$
πρόβλημα του Χρήστου Πατήλα
$ 9^x-3^x=y^4+2y^3+y^2+2y$
Να βρείτε τις μη αρνητικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:
$ 9^x-3^x=y^4+2y^3+y^2+2y.$
Χρωματισμός σημείων (1)
Χρωματίζουμε όλα τα σημεία του επιπέδου κόκκινα ή μπλε. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με κορυφές του ίδιου χρώματος.
Χρωματισμός ακεραίων
Χρωματίζουμε όλους τους ακέραιους κόκκινους ή μπλε. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τρεις διαφορετικοί ακέραιοι $α<β<γ$ με το ίδιο χρώμα ώστε ο $β$ να είναι ο μέσος όρος των $α,γ.$
''Καλά'' σύνολα
Ένα πεπερασμένο σύνολο $Α$ θετικών ακεραίων θα το λέμε καλό αν για κάθε στοιχείο $χ$ του $Α$ ισχύει ότι ο $χ$ διαιρεί το άθροισμα όλων των στοιχείων του $Α$.
Να αποδειχθεί ότι κάθε πεπερασμένο σύνολο θετικών ακεραίων είναι υποσύνολο ενός καλού συνόλου.
Είναι άρρητος!
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $ \sqrt[100]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\sqrt[100]{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ είναι άρρητος.
Διοφαντική εξίσωση από τη Ρωσία
Βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης $(x^2 - y^2)^2 = 1 + 16y$.
Παρασκευή 3 Δεκεμβρίου 2021
Είναι (αναπάντεχα) φυσικός!
Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός
$A=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{143}+\sqrt{144}}$
είναι φυσικός.
Τετάρτη 1 Δεκεμβρίου 2021
Κίτρινα εμβαδά
Ποια από τις δύο κίτρινες επιφάνειες είναι μεγαλύτερη, ο κεντρικός δίσκος ή ο εξωτερικός δακτύλιος; Οι δακτύλιοι ισαπέχουν μεταξύ τους.
Τρίτη 30 Νοεμβρίου 2021
Είναι αντίθετοι!
Αν $\displaystyle{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 1}$ τότε, να δείξετε ότι $\displaystyle{x + y = 0}.$
Άσκηση στα όρια (4)
Να εξετάσετε αν είναι αληθής η παρακάτω πρόταση:
Αν $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^3(x)+g^3(x))=+\infty}$ τότε πάντα $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty}.$
Άσκηση στα όρια (3)
Να αποδείξετε ότι αν $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty}$ τότε:
(1) $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^2(x)+g^2(x))=+\infty}$
(2) $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^3(x)+g^3(x))=+\infty}$
Βαρύκεντρα σε τετράπλευρο
Δίνεται τετράπλευρο $ΑΒΓΔ,$ το βαρύκεντρο $Κ$ του τριγώνου $ΑΒΓ$ και το βαρύκεντρο $Λ$ του τριγώνου $ΑΔΓ.$ Να αποδείξετε ότι:
α) $ΚΛ//ΒΔ$
β) $ΒΔ=3ΚΛ$
Συμπληρώστε με κατάλληλα ψηφία
Να τοποθετήσετε στην παρακάτω φράση ένα μη μηδενικό ψηφίο σε κάθε ένα κουτί ώστε η πρόταση που θα προκύψει να είναι αληθής:
To $\square\square$ % του $\square\square\square$ είναι $400.$
Σύγκριση αριθμών (Ι)
Να συγκριθούν οι αριθμοί
$a=\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}+\sqrt{\sqrt{3}-1}\right)$
και
$b=\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}-\sqrt{\sqrt{3}-1}\right).$
Ανισότητα με ριζικά
Αν $a,b,c,d\in (0,+\infty)$ με $a\geq b$ και $c\geq d$ να αποδείξετε ότι
$\sqrt{(a+c)^2-(b+d)^2}\geq \sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{c^2-d^2}.$
Δευτέρα 29 Νοεμβρίου 2021
Πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές χωρίς ακέραιες ρίζες
Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)$ με ακέραιους συντελεστές για το οποίο ισχύει $P(1) = 5$, $P( - 1) = 11$, $P(0) = 8.$ .
Να αποδείξετε ότι δεν έχει ακέραιες ρίζες.
Παρασκευή 26 Νοεμβρίου 2021
Πολλές κάθετες
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $ΑΒΓ$ με $ΑΒ = ΑΓ$ και σημεία $Δ, Ε$ στην πλευρά $ΒΓ,$ με $ΒΔ=ΕΓ<\dfrac{B\Gamma}{2}$.
Φέρνουμε $ΔΚ\perp ΑΒ$, $ΕΛ\perp ΑΒ$ , $ΔΜ \perp ΑΓ$ και $ΕΝ \perp ΑΓ.$
i. Να αποδείξετε ότι: $ΚΛ = ΜΝ.$
ii. Εάν $Ρ$ είναι το σημείο τομής των $ΕΛ$ και $ΔΜ,$ τότε η $ΑΡ$ είναι η διχοτόμος της γωνίας $\hat Α$.
Η άσκηση με τα αποστήματα
Στον παρακάτω κύκλο το σημείο Ο είναι το
κέντρο του.
Τα ΟΚ, ΟΛ, ΟΡ, ΟΣ είναι τα
αποστήματα των χορδών
ΑΒ, ΓΔ, ΑΓ, ΒΔ αντίστοιχα.
Αν
γνωρίζετε ότι ΟΚ = ΟΛ, να αποδείξετε ότι ΟΡ
= ΟΣ.
Aπόλυτες τιμές (4)
Αν $a,b\ne 0$ ώστε $\left|\dfrac{a+2b}{2a+b}\right|\leq 1$ να αποδείξετε ότι
i) $|b|\leq |a|$
ii) $2\left|\dfrac{b}{a}\right| -\left |\dfrac{a}{b}\right | \leq 1 $
Ενδιαφέρουσα ανισότητα με απόλυτες τιμές
Αν $a,b,c$ είναι τρεις τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι
$|a+b-c|+|b+c-a|+|c+a-b|\geq |a|+|b|+|c|.$
Απόλυτες τιμές (2)
Δίνεται η παράσταση $A=|x-2|+|x-3|+2x-3.$
α) Να γράψετε την παράσταση $A$ χωρίς απόλυτα.
β) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του $x$ για τις οποίες $A=0.$
Απόλυτες τιμές (1)
Δίνεται η παράσταση $A=|x-1|+3x+5. $
α) Να γραφεί η παράσταση $A$ χωρίς την απόλυτη τιμή.
β) Για ποιες τιμές του $x$ είναι $A=0;$
Πέμπτη 25 Νοεμβρίου 2021
Ανισότητα Nesbitt
Αν $a,b,c$ είναι τρεις θετικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac{3}{2}.$
Δευτέρα 22 Νοεμβρίου 2021
Ανισότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο
Έστω $ABC$ ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο $A.$ Αποδείξτε ότι $\sqrt{2}\left(AB+AC-\sqrt{AB \cdot AC} \right)\geq BC.$
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή παράστασης
Αν $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $abc=8$ να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:
$\dfrac{a^2b^2}{a+b}+\dfrac{b^2c^2}{b+c}+\dfrac{c^2a^2}{c+a}.$
Υπάρχουν τέτοιοι ακέραιοι;
(α) Υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί θετικοί φυσικοί αριθμοί ώστε το άθροισμα τριών οποιωνδήποτε από αυτούς να είναι πρώτος αριθμός;
Βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων
Βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων $(x,y)$ που ικανοποιούν την εξίσωση:
$2(x^2+y^2)+x+y=5xy$
Μία εξίσωση, τέσσερις άγνωστοι!
Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών την εξίσωση:
$4\left [ \left ( 1-x \right )^2+\left ( x-y \right )^2+\left ( y-w \right )^2+w^2 \right ]=1$
Σάββατο 20 Νοεμβρίου 2021
Ανισότητα (12)
Αν $0<a<2c$ να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό $x$
$-\dfrac{1}{2c+a}\leq \dfrac{x+a}{x^2+ax+c^2}\leq \dfrac{1}{2c-a}.$
Πότε έχουμε ισότητα;
Ανισότητα (11)
Αν $\rm x>y>z>0$ να αποδείξετε ότι
$\rm \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}<\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}.$
Δεν είναι πολλαπλάσιο του 81
Να δείξετε ότι για κάθε ακέραιο $n$, ο αριθμός $n^3 - 9n + 27$ δε διαιρείται με το $81$.
Ανισότητα με ριζικά
Αν οι $a,b,c,d$ είναι θετικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι
$\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}+\sqrt[6]{c}+\sqrt[8]{d}>\sqrt[20]{abcd}.$
Ανισότητα (10)
Αν $a,b,c,x,y,z \in \mathbb{R}$ και $a+b+c=x^2+y^2+z^2=1,$ να αποδείξετε ότι:
$a(x+b)+b(y+c)+c(z+a)\leq 1.$
Μία εξίσωση με δύο αγνώστους
Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς $a,b$ ώστε
$\dfrac{a^{26}+1}{b^{13}+1}+\dfrac{b^{26}+1}{a^{13}+1}=4(\sqrt2-1).$
Ολοκλήρωμα (1)
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{1}^{\sqrt{e}}{\dfrac{e^x(x-2)}{x(x^2+e^x)}}dx}.$
Σύστημα τριών εξισώσεων
Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα:
$3xy+x+y=1$
$3yz+y+z=2$
$3zx+z+x=5$
Σύστημα με θετικούς
Να επιλυθεί το παρακάτω σύστημα εξισώσεων όταν οι $x$, $y$, $z$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί.
$x + y^2 + z^3 = 3$
$y + z^2 + x^3 = 3$
$z + x^2 + y^3 =3$
Ανισότητα (9)
Έστω $0\leq a, b, c, d, e \leq 1$ πραγματικοί αριθμοί. Να δείξετε ότι
$\displaystyle{(1 + a + b + c + d + e)^2\geq 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2).}$
Ανισότητα (8)
Αν $a,b,c>0$ να αποδειχθεί ότι $\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{a}{b+c}\right)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{c+a}\right)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{b+a}\right)\geq1$
Κανονικό εννιάγωνο και υπολογισμός γωνίας
Σε κανονικό εννιάγωνο $\displaystyle{ABCD EFGHI}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο $O,$ $M$ είναι το μέσο του τόξου $\overset{\frown}{AB},$ $N$ είναι το μέσο της πλευράς $BC$ και $P$ είναι το μέσο της ακτίνας $OM.$ Αν οι ευθείες $OC$ και $PN$ τέμνονται στο $Q,$ βρείτε το μέτρο της γωνίας $\widehat {OQP}$.
Ένα μέγιστο και ένα ελάχιστο!
Αν οι θετικοί αριθμοί $a,b$ ικανοποιούν τη σχέση $\dfrac{1}{a^2+4b+4}+\dfrac{1}{b^2+4a+4}=\dfrac{1}{8},$ τότε να βρεθεί
i) η μέγιστη τιμή του $a+b$
ii) η ελάχιστη τιμή του $a^2+b^2$
Ακριβώς πέντε τέλεια τετράγωνα!
Πόσοι θετικοί ακέραιοι $n$ υπάρχουν τέτοιοι ώστε ανάμεσα στους $n^2+1$ και $2n^2$ να περιέχονται ακριβώς 5 τέλεια τετράγωνα;
Παρασκευή 19 Νοεμβρίου 2021
Σάββατο 13 Νοεμβρίου 2021
Παρασκευή 12 Νοεμβρίου 2021
Εξίσωση με ριζικά και απόλυτο
Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς την εξίσωση
$1+\dfrac{\sqrt{2x^2+1}}{|x|} -\left ( x^2+x\right ) \left (1+ \sqrt{x^2+2x+3}\right )=0$.
Πέμπτη 11 Νοεμβρίου 2021
Ελάχιστο παράστασης με κλάσματα
Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:
$\dfrac{a+3c}{a+2b+c} + \dfrac{4b}{a+b+2c} -\dfrac{8c}{a+b+3c}$.
Κυριακή 7 Νοεμβρίου 2021
Τρεις ευθείες συντρέχουν!
 |
| (3ο Θέμα, Θαλής 2021, Γ΄ Λυκείου) |
Η δυσκολία είναι να κάνει κανείς γρήγορα το σχήμα. Μια καλή παρατήρηση είναι ότι όταν δύο κύκλοι τέμνονται, η κοινή χορδή τους έχει τη διάκεντρό τους ως μεσοκάθετο. Μπορούμε λοιπόν να εντοπίσουμε γρήγορα το σημείο Δ ως το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία ΟΜ. Μάλιστα ισχύει ότι ΑΔ = 2ΤΜ. Αν Θ είναι το σημείο τομής των ΤΔ και της διαμέσου ΑΜ τότε τα τρίγωνα ΑΘΔ και ΤΘΜ είναι όμοια λόγω της παραλληλίας των ΑΔ και ΒΓ με λόγο ομοιότητας 2. Άρα το Θ χωρίζει τη διάμεσο ΑΜ σε λόγο 2:1, οπότε το Θ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ.
Δεν χρειάζεται να εντοπίσουμε στο σχήμα τα σημεία Ε και Ζ. Ομοίως οι ΕΡ και ΖΣ όπως και η ΔΤ διέρχονται από το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ.
Συναρτησιακή εξίσωση
Θεωρούμε συνάρτηση $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ , για την οποία ισχύει
$f(2f(x)+ y)=f(f(y)+ x)+ x$ (*) για κάθε $x,y \in \mathbb R.$
α) Να αποδείξετε ότι για κάθε $a\in \mathbb R$ υπάρχει $z\in\mathbb R$ τέτοιο ώστε $f (z)=a$ και ότι η συνάρτηση $f$ είναι $1-1$.
β) Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f$ που ικανοποιούν τη σχέση (*).
(2o Θέμα, Θαλής 2021, Γ΄ Λυκείου)
Λύση
α) Για $y=-2f(x)$ προκύπτει $f(0)=f(f(-2f(x))+x)+x $ για κάθε $x \in \mathbb R.$
Έστω $a\in \mathbb R.$
Για $x_0=f(0)-a$ προκύπτει ότι $f(f(-2f(x_0))+x_0)=a.$ Δηλαδή $f(z)=a$ για $z=f(-2f(x_0))+x_0.$
Επομένως υπάρχει $b\in\mathbb R$ ώστε $f(b)=0.$
Για $x=y=b$ η δοσμένη δίνει $f(2f(b)+ b)=f(f(b)+ b)+ b$ οπότε $f(b)=f(b)+b.$ Άρα $b=0$ και $f(0)=0.$
Τώρα η αρχική για $y=0$ δίνει $\boxed{f(2f(x))=f(x)+x}$ για κάθε $x \in \mathbb R.$
Έστω $x_1,x_2\in \mathbb R$ με $f(x_1)=f(x_2).$ Τότε $2f(x_1)=2f(x_2)$ οπότε
$f(2f(x_1))=f(2f(x_2)).$ Η σχέση στο πλαίσιο δίνει
$f(x_1)+x_1=f(x_2)+x_2$ και έτσι $x_1=x_2.$ Άρα η $f$ είναι $1-1.$
β) Για $x=0$ η αρχική δίνει $f(y)=f(f(y))$ οπότε το $1-1$ δίνει $f(y)=y.$
Η συνάρτηση αυτή επαληθεύει την δοσμένη και είναι λοιπόν η μόνη λύση του προβλήματος.
Σάββατο 6 Νοεμβρίου 2021
Διοφαντικό σύστημα
Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους το σύστημα
$13a=3b+2c+34$
$4a^2=6b^2+5c^2+25$ (1ο Θέμα, Θαλής 2021, Γ΄ Λυκείου)
ΛΥΣΗ
Έστω οι θετικοί ακέραιοι $a,b,c$ ώστε $4a^2=6b^2+5c^2+25$ και $13a=3b+2c+34.$
Η πρώτη ισότητα δίνει $4a^2>6b^2>4b^2$ οπότε $a>b.$
Ομοίως $4a^2>5c^2>4c^2$ οπότε $a>c.$
Επομένως $b,c\leq a-1.$
Τώρα η δεύτερη ισότητα δίνει $13a\leq 5(a-1)+34$ οπότε $8a\leq 29$ και άρα $a\leq 3.$
Αφού $b,c\geq 1$ η δεύτερη σχέση δίνει $13a\geq 39$ οπότε $a\geq 3.$
Άρα $a=3.$
Tότε $3b+2c=5$ οπότε αφού πρόκειται για θετικούς ακέραιους, αναγκαστικά $b=c=1.$
Η τριάδα $(a,b,c)=(3,1,1)$ προφανώς επαληθεύει το σύστημα, άρα είναι η μόνη λύση.
Κυριακή 31 Οκτωβρίου 2021
Πολλαπλάσιο του 81
Αν $\displaystyle{A=2^{4\lambda+1}-2^{2\lambda}-1}$ και $\displaystyle{B=2^{ 2\rho}+15\rho-1}$ με $\displaystyle{ \lambda, \rho \in \mathbb{N}^*}$,
να δείξετε οτι ο $\displaystyle{ A\cdot B}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{81}$.
Τουλάχστον ένας είναι ίσος με k
Αν $\displaystyle{\alpha+\beta+\gamma=\kappa}$ και $\displaystyle{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\frac{1}{\kappa}}$, τότε να δειχτεί ότι ένας απ' τους $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ είναι ίσος με $\displaystyle{\kappa}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,\kappa \in \mathbb R^*}.$
Γεωμετρική ανισότητα σε τρίγωνο
Αν $\displaystyle{M,N,P}$ είναι σημεία επί των πλευρών $\displaystyle{B\Gamma, \Gamma A, AB,}$ αντίστοιχα ενός τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$,
να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{(B\Gamma)+( \Gamma A)+( AB)<2\left[(AM)+( BN)+(\Gamma P)\right]<3\left[(B\Gamma)+( \Gamma A)+( AB)\right]}$ .
Γεωμετρική ανισότητα για την περίμετρο εξαγώνου
Έστω $\displaystyle{AB\Gamma \Delta EZ}$ ένα κυρτό εξάγωνο με περίμετρο $\displaystyle{ \Pi}$.
Να δείξετε ότι $\displaystyle{\Pi> \frac{2}{3}(A\Delta +BE +\Gamma Z)}$.
Είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου
Αν $\displaystyle{a,b,c}$ ακέραιοι αριθμοί με $\displaystyle{a+b+c=0}$ να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{2a^{4}+2b^{4}+2c^{4}}$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου αριθμού.
Ανισότητα (6)
Αν $\displaystyle{x>0}$, τότε να δείξετε ότι $\displaystyle{\frac{x^2+3x+3}{x+1}+\frac{1}{x}>4}$ .
Σάββατο 30 Οκτωβρίου 2021
Μία τουλάχιστον εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες
Έστω $p, q, r$ θετικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι τουλάχιστον μία από τις παρακάτω εξισώσεις έχει πραγματικές ρίζες:
$px^2+2qx+r=0$
$rx^2+2px+q=0$
$qx^2+2rx+p=0$
Να βρεθούν οι τιμές ώστε το κλάσμα να είναι ακέραιος
Να προσδιορίσετε όλες τις τιμές του ακέραιου αριθμού $\alpha$ για τις οποίες ο ρητός αριθμός $A =\dfrac{(a^2-1)^3}{(a-1)^4}$ είναι ακέραιος.
Βρείτε τους πέντε αριθμούς
Οι πραγματικοί αριθμοί $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon$ είναι τέτοιοι ώστε $\alpha< \beta< \gamma< \delta< \epsilon$. Βρίσκουμε όλα τα αθροίσματα που δημιουργούνται με δύο όρους από τους $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon$ και παρατηρούμε ότι τα τρία μικρότερα από αυτά είναι 128, 144 και 148, ενώ τα δύο μεγαλύτερα είναι 204 και 192. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon.$
Ισοσκελές τρίγωνο με ίσες πλευρές διπλάσιες της βάσης του
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{B\Gamma =\alpha}$ και $\displaystyle{AB = A\Gamma=2\alpha}$ . Η παράλληλη ευθεία από την κορυφή $\displaystyle{\Gamma}$ προς την πλευρά $\displaystyle{AB}$ τέμνει την ευθεία της διχοτόμου $\displaystyle{B\Delta}$ στο σημείο $\displaystyle{E}$. Η ευθεία $\displaystyle{AE}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{B\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{Z}$. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{ABZ}$ είναι ισοσκελές.
(Θαλής, 2012)
Να απλοποιηθεί η παράσταση (2)
Να απλοποιηθεί η παράσταση : $\displaystyle{K=\frac{\alpha^3 +{\beta}^3 -\alpha^2 +\beta^2 +(\alpha\beta+\beta^2 )(\alpha-2\beta)}{(\alpha+\beta)^2 -\alpha-\beta}}$ αν $\displaystyle{\alpha +\beta \ne 0}$ και $\displaystyle{\alpha +\beta \ne 1}$.
Παραμετρική εξίσωση (1)
(α) Αν $\displaystyle{\kappa}$ ακέραιος, να λύσετε την εξίσωση : $\displaystyle{\frac{\kappa x}{2}+\frac{x}{4}= \kappa(x + 2) -\frac{3(\kappa x-1)}{4}}$.
(β) Για ποιες τιμές του ακέραιου $\displaystyle{\kappa}$ η παραπάνω εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις;
Να απλοποιηθεί η παράσταση (1)
Να απλοποιηθεί η παράσταση:
$\displaystyle{A (x) = \frac{1+{{x}^{4}}+{{(1+x)}^{3}}+x{{(1+x)}^{3}}}{1+{{x}^{2}}+{{(1+x)}^{2}}}-\frac{2(1+{{x}^{3}})+{{(1+x)}^{3}}}{3(1+{{x}^{2}})}}$.
Παραγοντοποίηση (2)
Αν $\displaystyle{\alpha, \beta , \gamma}$ είναι πραγματικοί αριθμοί, με κατάλληλο χωρισμό των όρων της σε ομάδες, να παραγοντοποιήσετε την παράσταση:
$\displaystyle{A= \alpha ^4 + 2\alpha^3 \beta + \alpha^2 \beta^2 − \alpha^2 \beta^2\gamma^2 − 2\alpha \beta^3\gamma^2 − \beta^4\gamma^2 − \alpha^2\gamma^2 + \beta^2\gamma^4}$.
Πολλαπλάσιο του 34
Αν οι αριθμοί $\displaystyle{\mu, \nu }$ είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύει ότι $\displaystyle{4^{\mu -2} + 4^{\nu +2 } \le 2^{\mu+ \nu +1}}$ , να αποδείξετε ότι ο ακέραιος $\displaystyle{A = 2^\mu +2^\nu}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{34}$.
Να δείξετε ότι το άθροισμα των κύβων τους ισούται με το τριπλάσιο του γινομένου τους
Αν οι πραγματικοί αριθμοί ικανοποιούν τις ισότητες $\displaystyle{x^2- y = z^2 , y^2-z = x^2 , z^2-x = y^2}$ , να αποδείξετε ότι:
(α) $\displaystyle{x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz}$ .
(β) Ένας τουλάχιστον από τους $\displaystyle{x, y, z}$ ισούται με $\displaystyle{0}$.
Να βρεθούν οι ακέραιοι (3)
Να προσδιορίσετε τους ακέραιους $\displaystyle{x, y}$ και $\displaystyle{z}$ που είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{0\le x\le y\le z}$ και $\displaystyle{xyz + xy + yz + zx + x + y + z = 44}$ .
Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι
Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{x,y}$ που ικανοποιούν τη σχέση: $\displaystyle{x^6+ 2 x^3 y^2 + 3x^3 + y^4 + 3y^2 -40 = 0}$
Παρασκευή 29 Οκτωβρίου 2021
Υπολογισμός παράστασης
Αν $\displaystyle{a, b, c \in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{(a-b)(b-c)(c- a)\ne 0}$ τότε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
$A=\dfrac{a^2-1}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^2-1}{(b-a)(b-c)}+\dfrac{c^2-1}{(c-a)(c-b)}$
Ισότητα τμημάτων
Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\widehat{A}>\widehat{B}}$ οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{A}}$ και $\displaystyle{\widehat{B}}$ τέμνονται στο $\displaystyle{I}$. Στην πλευρά $\displaystyle{AB}$ παίρνουμε τμήμα $\displaystyle{B\Delta = B\Gamma−A\Gamma}$.
Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{ I\Delta =IA}$.
Ανισότητα (5)
Αν $\displaystyle{\alpha ,\beta,\gamma }$ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{{{\left( \frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\gamma }+\frac{\gamma }{\alpha } \right)}^{2}}\ge 3\left( \frac{\alpha }{\gamma }+\frac{\gamma }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha } \right)}$
Παραγοντοποίηση (1)
Να αναλυθεί το πολυώνυμο $\displaystyle{x^6 − 2x^5 + x^2 − x − 2}$ σε γινόμενο τριών πολυωνύμων θετικού βαθμού.
Απλοποίηση παράστασης με ριζικά
Να απλοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}}$.
Να βρεθούν οι ακέραιοι (2)
Οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{x, y}$ με $\displaystyle{x > y}$ είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{x^3 − y^3 + x^2y − xy^2 = 49(x − y)}$. Να προσδιορίσετε τους αριθμούς $\displaystyle{x , y}$.
Να βρεθούν οι ακέραιοι (1)
Να βρεθούν οι ακέραιοι $\displaystyle{\alpha ,\beta}$ για τους οποίους ισχύει η ισότητα $\displaystyle{\alpha\beta^2 + 2\alpha\beta + \alpha = 2\beta^2 + 4\beta + 3}$.
Αριθμητική τιμή παράστασης με συνθήκη
Αν για τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x, y, z}$ ισχύει ότι $\displaystyle{xyz = 1}$, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης
$\displaystyle{K=\frac{1}{y+1-\displaystyle\frac{y}{x+1}}+ \frac{1}{z+1-\displaystyle\frac{z}{y+1}} + \frac{1}{x+1-\displaystyle\frac{x}{z+1}}}$.
Διαιρετότητα
Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{\nu}$ για τους οποίους ο αριθμός $\displaystyle{2\nu + 1}$ διαιρεί τον αριθμό $\displaystyle{\nu^2 + \nu- 2}.$
Πολλαπλάσιο του 128
Αν $\displaystyle{\alpha}$ περιττός ακέραιος, να δειχθεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{\alpha^4 + 6\alpha^2 − 7}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{128}$.
Τριπλή ισότητα
Έστω ότι για θετικούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{\alpha, \beta ,\gamma}$ ισχύει $\displaystyle{\alpha \beta \left( \frac{\alpha +\beta }{2}-\gamma \right) + \beta \gamma \left( \frac{\beta +\gamma }{2}-\alpha \right) + \gamma \alpha \left( \frac{\gamma +\alpha }{2}-\beta \right) = 0}$.
Να αποδειχτεί ότι $\displaystyle{\alpha= \beta=\gamma}$.
Πέμπτη 28 Οκτωβρίου 2021
Τρεις πρώτοι
Αν οι φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{a , a+d , a+2d}$, είναι πρώτοι, μεγαλύτεροι του $3$, να αποδείξετε ότι το $6$ διαιρεί τον $d.$
Παιχνίδι με τριώνυμα
Ο καθηγητής έγραψε το τριώνυμο $\displaystyle{x^2 +10x+20}$ στον πίνακα. Στη συνέχεια κάποιοι μαθητές είτε πρόσθεταν $1$, είτε αφαιρούσαν $1$ , (όχι και τα δύο ταυτόχρονα), από τον συντελεστή του $x$, ή από τον σταθερό όρο και μετά από λίγο, εμφανίσθηκε το τριώνυμο $\displaystyle{x^2 +20x +10}$. Nα αποδείξετε ότι κάποιο από τα τριώνυμα που εμφανίσθηκαν διαδοχικά στον πίνακα είχε ακέραιες ρίζες.
Αναλογίες
Αν $\displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} , a+b+c=1}$ και $\displaystyle{a^2 +b^2 +c^2 =1}$ . με $\displaystyle{a , b , c \neq 0}$, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{xy +yz +zx=0.}$
Δεν υπάρχουν τέτοιοι ακέραιοι
α) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ακέραιος αριθμός $n$ τέτοιος ώστε ο $n^3+3n$ να είναι περιττός.
β) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί $x$ και $y$ τέτοιοι ώστε να ισχύει: $5x^3-4y^2-6xy+15x+6y-5=0$.
Το άθροισμα των 7 αποστάσεων να γίνει ελάχιστο
Επτά πόλεις $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7$ βρίσκονται, με αυτή τη διάταξη, πάνω σε μία ευθεία. Πού πρέπει να κτιστεί ένα εργοστάσιο, ώστε το άθροισμα των αποστάσεών του από τις επτά πόλεις να είναι το ελάχιστο δυνατό;
Ανισότητα (4)
Αν $a,b,c$ τα μήκη πλευρών ενός τριγώνου, να αποδείξετε την ανισότητα: $\left(b^2+c^2-a^2\right)^2\leq 4b^2c^2$.
Ανισότητα (3)
Αν $\alpha>0$, $\beta > 0$ να αποδείξετε ότι $\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}\leq \sqrt{\dfrac{\alpha^2}{\beta}}+ \sqrt{\dfrac{\beta^2}{\alpha}}$.
Τετάρτη 27 Οκτωβρίου 2021
Δεν υπάρχουν τέτοιοι ακέραιοι
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι $\displaystyle{x, y, z}$ τέτοιοι ώστε να ικανοποιούν την ισότητα $\displaystyle{x^2 + y^2 - 8z = 6}$.
Μόνο μία συνάρτηση
Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} , h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{g(g(x))=x}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ και δίνεται πραγματικός αριθμός $\displaystyle{\alpha}$ με $\displaystyle{|\alpha| \ne 1}$.
Ν' αποδείξετε ότι υπάρχει μία και μόνο μία συνάρτηση $\displaystyle{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} }$ τέτοια ώστε $\displaystyle{\alpha f(x)+ f(g(x))=h(x)}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$.
(Ελλάδα, 1987)
Είναι όλοι τους ρητοί
Έστω $x, y, z\in \mathbb R^*$ ώστε οι $xy, yz, zx$ να είναι ρητοί.
(α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $x^2+y^2+z^2$ είναι ρητός.
(β) Αν επιπλέον γνωρίζετε ότι ο αριθμός $x^3+y^3+z^3$ είναι μη μηδενικός ρητός, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί $x, y, z$ είναι όλοι τους ρητοί.
Κυριακή 24 Οκτωβρίου 2021
Ανισότητα (2)
Αν $a,b,c\in\mathbb R^*$ να αποδείξετε ότι
$\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2}+\dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2}+\dfrac{(c+a)^2}{c^2+a^2}\leq6.$
Ανισότητα (1)
Αν $a,b,c\in\mathbb R$ διαφορετικοί ανά δύο να αποδείξετε ότι
$\dfrac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+\dfrac{b^2+c^2}{(b-c)^2}+\dfrac{c^2+a^2}{(c-a)^2}>\dfrac{3}{2}.$
Παρασκευή 22 Οκτωβρίου 2021
Τετάρτη 20 Οκτωβρίου 2021
Οι ασκήσεις της τράπεζας θεμάτων για την Γεωμετρία της Α΄ Λυκείου
Τράπεζα θεμάτων για την Γεωμετρία της Α΄ Λυκείου
Στο παραπάνω έγγραφο μπορείτε να βρείτε τις εκφωνήσεις των ασκήσεων που ανέβηκαν στην τράπεζα θεμάτων έως τις 8-8-2021.
Είναι ταξινομημένες ανά κεφάλαιο.
Ευχαριστούμε πολύ τους συναδέλφους Στέλιο Μιχαήλογλου και Δημήτρη Πατσιμά για τον κόπο τους.
Οι ασκήσεις της τράπεζας θεμάτων για την Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου
Τράπεζα θεμάτων για την Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου
Στο παραπάνω έγγραφο μπορείτε να βρείτε τις εκφωνήσεις των ασκήσεων που ανέβηκαν στην τράπεζα θεμάτων έως τις 23-7-2021.
Είναι ταξινομημένες ανά κεφάλαιο.
Ευχαριστούμε πολύ τους συναδέλφους Στέλιο Μιχαήλογλου, Δημήτρη Πατσιμά και Νίκο Τούντα για τον κόπο τους.
Πέμπτη 30 Σεπτεμβρίου 2021
Σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο
Δίνεται ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο $ΑΒ\Gamma$ με $\hat A=90^o$. Η διχοτόμος της γωνίας $\hat{\Gamma}$ τέμνει την πλευρά $ΑΒ$ στο σημείο $\Delta$ και τη διάμεσο $ΑΜ$ στο σημείο $Ε$. Η κάθετη από το $Ε$ προς την πλευρά $ΑΒ$ την τέμνει στο σημείο $Ζ$. Να αποδείξετε ότι: $B\Delta=2EZ.$
Ανισότητα με αποστάσεις σημείου εσωτερικού σε τρίγωνο από τις πλευρές του τριγώνου
Αν $P$ εσωτερικό σημείο τριγώνου και $d_{1},d_{2},d_{3}$ οι αποστάσεις του $P$ από τις κορυφές $A,B,C$ δείξτε ότι:
α) $(\beta+\gamma)(\alpha+\beta+d_{1}+d_{2})>2\gamma^{2}+\beta^{2}$
β) $(\alpha+\gamma)(\beta +\gamma +d_{2}+d_{3})>3\alpha\gamma$
Δευτέρα 27 Σεπτεμβρίου 2021
Να βρεθούν οι αριθμοί
Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x , y}$ που ικανοποιούν την εξίσωση:
$\displaystyle{2002^{x^2 +y^2 -2x-2y+2}=\sigma \upsilon \nu[\pi (x+y)]}$
Τρίτη 14 Σεπτεμβρίου 2021
Πρόβλημα με εκθετικές μορφές!
Aν $43^x=2021$ και $47^y=2021$ τότε να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης
$\dfrac{x+4xy+y}{2xy-x-y}.$
Τρίτη 7 Σεπτεμβρίου 2021
Δευτέρα 9 Αυγούστου 2021
Ανισότητα με συνθήκες
Οι διαφορετικοί θετικοί αριθμοί $a,b,c$ είναι τέτοιοι, ώστε $a^{4}=ac-1$ και $b^{4}=bc-1$. Να αποδείξετε, ότι $3(ab)^{2} < 1.$
Πέμπτη 20 Μαΐου 2021
Δύο σημεία καμπής πάνω στον άξονα x'x
Δίνονται οι συναρτήσεις $F,f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ με $F(x)=x^2(x-c)^2(2x-c)$ και $F'=f$ όπου $c>0.$
Να αποδείξετε ότι η $f$ έχει δύο σημεία καμπής τα οποία ανήκουν στον άξονα x'x.
Κυριακή 16 Μαΐου 2021
Πέμπτη 6 Μαΐου 2021
$\displaystyle{\eta \mu \left(X^o+1^o \right)-\eta \mu X^o}$
1) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος $k\in [0,89]$ ώστε $\displaystyle{\eta \mu \left(k^o+1^o \right)-\eta \mu k^o\leq \frac{1}{120}}.$
2) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος $m\in [0,89]$ ώστε $\displaystyle{\eta \mu \left(m^o+1^o \right)-\eta \mu m^o\geq \frac{1}{60}}.$
Σύστημα
Οι θετικοί πραγματικοί $\displaystyle{a_1,a_2,...,a_n}$ ικανοποιούν τις σχέσεις
$\displaystyle{a_1+a_2+...+a_n=96}$
$\displaystyle{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=144}$ και
$\displaystyle{a_1^3+a_2^3+...+a_n^3=216}$
Να βρεθεί ο φυσικός αριθμός $n.$
Τέλεια διαίρεση
Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο $\displaystyle{P(x)=1+x+x^2+x^3+x^4}$ διαιρεί το πολυώνυμο $\displaystyle{Q(x)=1+x^{11}+x^{22}+x^{33}+x^{44}.}$
Τετάρτη 5 Μαΐου 2021
Είναι ισοσκελές! (Τριγωνομετρική ισότητα που οδηγεί σε ισότητα γωνιών)
Αν σε κάποιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει $\displaystyle\eta \mu^2 \frac{A}{2}+\sigma \upsilon \nu^3 \frac{B}{3}=\eta \mu^2 \frac{B}{2}+\sigma \upsilon \nu^3 \frac{A}{3}$, να αποδειχθεί ότι είναι ισοσκελές.
Ελάχιστη τιμή
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $\sqrt{x^{2}+\left(y+1 \right)^{2}}+\sqrt{x^{2}+\left(y-3 \right)^{2}}$ όπου x,y πραγματικοί αριθμοί με $2x-y=2$.
Υπόλοιπο ευκλείδειας διαίρεσης
Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του $10^{2018}$
α) με το $9$
β) με το $99$
γ) με το $999$
Πλήθος ακέραιων λύσεων πολυωνυμικής ανίσωσης
Πόσοι ακέραιοι αριθμοί $x$ υπάρχουν τέτοιοι ώστε
$(x-\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{2}{3})(x-\dfrac{3}{4})\cdot\cdot\cdot(x-\dfrac{2018}{2019})<0;$
Δευτέρα 3 Μαΐου 2021
Ανισότητα με ριζικά
Να αποδείξετε ότι για κάθε $x,y,z \in (0,+\infty)$ ισχύει η ανισότητα
$\sqrt{x(y+1)}+\sqrt{y(z+1)}+\sqrt{z(x+1)}\leq \dfrac{3}{2}\sqrt{(x+1)(y+1)(z+1)}$
Κυριακή 25 Απριλίου 2021
Eξίσωση με έναν άγνωστο και τρία ριζικά
Να λυθεί στο $\mathbb R$ η εξίσωση
$\sqrt{x+6}+\sqrt{3x-8}+\sqrt{41-4x}=\sqrt{117}.$
Εξίσωση με δύο αγνώστους και τέσσερα ριζικά!
Να βρείτε τους $x,y\in\mathbb R$ ώστε
$\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{(8-x)^2+(6-y)^2}+\sqrt{(8-x)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(6-y)^2}=20.$
Παρασκευή 5 Μαρτίου 2021
Για τα παιδιά του ΒΘετ1 (Για τη Δευτέρα 8/3/2021)
Για τη Δευτέρα 8/3/2021 ετοιμάστε τις παρακάτω ασκήσεις:
Έχει γρήγορη και απλή λύση!
Έστω η συνάρτηση $f$ με τύπο $f(x)=\sqrt{x-x^2}$.
A. Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της και να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση είναι ένα ημικύκλιο.
Β. Αν Μ, Ν είναι δύο τυχαία σημεία της γραφικής της παράστασης, να βρείτε τη μεγαλύτερη απόσταση μεταξύ των Μ και Ν.
Λύνεται σε μία γραμμή! (Βάλε γεωμετρία στη σκέψη σου...)
Έστω οι αριθμοί $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb R$ για τους οποίους ισχύει $\alpha^2+ \beta^2=\gamma^2+ \delta^2=4 .$ Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή που παίρνει η παράσταση
$(\alpha-\gamma)^2+ (\beta- \delta)^2.$
Πέμπτη 25 Φεβρουαρίου 2021
Παρασκευή 19 Φεβρουαρίου 2021
Πέμπτη 18 Φεβρουαρίου 2021
Τετάρτη 17 Φεβρουαρίου 2021
Πέμπτη 11 Φεβρουαρίου 2021
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)